Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
test du Khi2
Le test du χ² d'adéquation évalue si les effectifs observés dans les catégories d'un échantillon sont compatibles avec une loi de probabilité fixée à l'avance. Il mesure l'écart global entre effectifs observés et attendus : un écart trop grand conduit à rejeter cette compatibilité, sans qu'un faible écart la prouve. Son approximation par la loi du χ² suppose des observations indépendantes, des catégories exclusives et des effectifs attendus suffisamment grands.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer effectifs observés et attendus.
- Calculer la statistique χ² sur un exemple de dé.
- Interpréter le rejet ou le non-rejet de l'hypothèse nulle.
- Repérer les limites liées aux petits effectifs, à la dépendance et aux paramètres estimés.
En clair
On lance 60 fois un dé supposé équilibré. Si chaque face doit apparaître 10 fois en moyenne, obtenir 8, 9, 10, 11, 12 et 10 occurrences paraît encore plausible. Le test du Khi2 mesure l'écart global entre ces nombres observés et les nombres attendus.
Un petit écart peut venir du hasard des lancers. Un écart trop grand conduit à rejeter l'hypothèse de départ, sans prouver pour autant quelle autre loi décrit les résultats.
Définition
Le test du χ² d'adéquation, aussi nommé test du χ² de conformité ou d'ajustement, compare la répartition observée d'une variable catégorielle à une loi de probabilité fixée avant l'observation. Son hypothèse nulle, notée H0, affirme que la variable aléatoire suit cette loi. Les catégories doivent être mutuellement exclusives, et chaque observation doit contribuer à une seule catégorie.
Le nombre de catégories est noté k, et l'indice i repère l'une d'elles. Pour chaque catégorie, l'effectif observé est noté Oi et l'effectif attendu sous H0 est noté Ei. La statistique additionne les écarts au carré, rapportés à l'effectif attendu :
Plus χ² est grand, moins les écarts sont compatibles avec H0. La décision compare cette valeur à la loi du chi-deux appropriée. Cette loi n'est qu'une approximation asymptotique : elle suppose notamment des observations indépendantes et des effectifs attendus assez grands. Si des paramètres de la loi sont estimés sur l'échantillon, le nombre de degrés de liberté doit être réduit en conséquence.
Un exemple, pas à pas
Un dé est lancé 60 fois. Sous H0, il est équilibré : chacune des six faces a une probabilité de 1/6. Les effectifs observés sont 8, 9, 10, 11, 12 et 10. L'effectif attendu est donc 60 × 1/6 = 10 pour chaque face. La comparaison graphique reprend ces six couples observé-attendu.
1. Les écarts observé moins attendu valent −2, −1, 0, 1, 2 et 0.
2. Leurs carrés valent 4, 1, 0, 1, 4 et 0.
3. Chaque carré est divisé par l'effectif attendu 10.
4. Les six contributions sont additionnées.
2. Leurs carrés valent 4, 1, 0, 1, 4 et 0.
3. Chaque carré est divisé par l'effectif attendu 10.
4. Les six contributions sont additionnées.
Avec six catégories et aucun paramètre estimé, il y a 5 degrés de liberté. Au seuil de 5 %, la valeur critique est environ 11,07. Comme 1 est inférieur à 11,07, ces données ne conduisent pas à rejeter l'équilibre du dé. Elles ne le prouvent pas non plus.
Le contrôle se refait sans table : les effectifs observés totalisent 60, comme les six effectifs attendus, et les numérateurs 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0 totalisent 10 ; divisés par 10, ils donnent bien χ² = 1.
En pratique
Pour contrôler un dé, on compte les occurrences de chaque face, on calcule les effectifs qu'impliquerait l'équilibre, puis on compare les deux répartitions. Si certains effectifs attendus sont trop faibles, un test exact multinomial est préférable à l'approximation du χ².
Pour vérifier une répartition annoncée entre plusieurs catégories, on fixe d'abord les proportions théoriques, puis on classe chaque observation une seule fois. Le test d'adéquation convient si ces proportions sont déterminées avant l'analyse.
Le résultat se rapporte avec la statistique χ², les degrés de liberté, le seuil choisi et la décision sur H0. Une conclusion utile décrit aussi les effectifs attendus et les catégories qui contribuent le plus à l'écart.
À ne pas confondre
Test du χ² d'indépendance. Il étudie le lien entre deux variables catégorielles dans un tableau croisé, alors que le test d'adéquation compare une seule répartition à des proportions fixées. Des faces de dé confrontées à 1/6 relèvent de l'adéquation ; faces croisées avec deux dés distincts relèvent de l'indépendance.
Loi du chi-deux. C'est la loi de référence utilisée pour interpréter la statistique, pas le test lui-même. Dans l'exemple du dé, χ² = 1 est la valeur calculée ; la loi à 5 degrés de liberté fournit le seuil de comparaison.
Test exact multinomial. Il calcule une probabilité sans utiliser l'approximation asymptotique du χ². Lorsque des catégories ont de petits effectifs attendus, ce caractère exact tranche en sa faveur.
Limites et pièges
Effectifs attendus trop faibles. L'approximation par la loi du chi-deux devient fragile. Le repère courant demande des effectifs attendus d'au moins 5 ; sinon, il faut regrouper des catégories de façon justifiée ou employer un test exact adapté.
Observations dépendantes. Des mesures répétées sur les mêmes individus ou des données appariées ne constituent pas des tirages indépendants. Un χ² d'adéquation ordinaire peut alors sous-estimer la variabilité ; il faut choisir une méthode qui représente cette dépendance.
Paramètres estimés après observation. Pour k catégories, utiliser l'échantillon pour ajuster la loi puis conserver k − 1 degrés de liberté fausse la référence. Il faut retrancher aussi le nombre de paramètres estimés, sous les conditions du modèle retenu.
Non-rejet pris pour une preuve. Dans l'exemple, χ² = 1 ne démontre pas que le dé est équilibré. Il indique seulement que l'écart observé n'est pas assez grand pour rejeter H0 au seuil de 5 % avec ce test.
Pour aller plus loin
La statistique χ² décompose l'écart total en contributions par catégorie. Examiner ces contributions aide à localiser les désaccords qui produisent une éventuelle décision de rejet.
La qualité de l'approximation dépend de la taille des effectifs attendus, tandis que les degrés de liberté dépendent du nombre de catégories et des paramètres estimés. Ces deux contrôles doivent précéder toute lecture d'une valeur critique ou d'une probabilité associée.
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