tableau de contingence

Imaginez 100 personnes réparties selon deux réponses : thé ou café, puis avec ou sans sucre. Le tableau place une réponse sur les lignes et l’autre sur les colonnes. À leur croisement, une case indique combien de personnes réunissent les deux choix. En regardant comment les effectifs se distribuent, on peut repérer si le choix du sucre semble lié à celui de la boisson, au lieu d’étudier les deux questions séparément.

Un tableau de contingence croise deux caractères qualitatifs, ou des caractères quantitatifs préalablement regroupés en classes, observés sur une même population. Les modalités du premier caractère forment les lignes ; celles du second forment les colonnes. Chaque cellule donne l’effectif conjoint, ou la fréquence conjointe, des individus qui possèdent simultanément les deux modalités correspondantes.

Les sommes par ligne et par colonne sont les effectifs marginaux. Si l’effectif total est noté n, l’effectif observé à la ligne i et à la colonne j est noté n_ij. Sous l’hypothèse d’indépendance, l’effectif théorique e_ij est obtenu à partir des deux marges :Cette valeur décrit ce que l’on attendrait si la répartition en colonnes ne dépendait pas de la ligne.

La comparaison entre effectifs observés et théoriques sert notamment au test du chi-deux d’indépendance. Un écart global important met en cause l’indépendance, sous réserve que les conditions du test soient satisfaites. Le tableau décrit une association, non une relation de cause à effet. Le nom « tableau de contingence » est attribué à Karl Pearson.

On rencontre ce tableau dans les résultats d’une enquête, d’une étude expérimentale ou d’un recensement. Quatre marqueurs permettent de le reconnaître : deux listes de modalités occupent ses bords, chaque case intérieure contient un effectif ou une fréquence, des totaux apparaissent souvent en marge, et toutes les cases concernent la même population. Le support conserve ainsi l’information conjointe : il indique non seulement combien d’individus ont chaque modalité, mais aussi quelles modalités sont réunies chez les mêmes individus.

La grandeur lue dans une case est un effectif conjoint ou une fréquence conjointe. 1. Identifiez les deux caractères et le sens des lignes et des colonnes. 2. Lisez une cellule comme une intersection : « ligne ET colonne ». 3. Vérifiez les marges : les effectifs marginaux doivent retrouver l’effectif total ; les fréquences marginales doivent totaliser 1, ou 100 % selon la convention. 4. Pour comparer des groupes de tailles différentes, utilisez des pourcentages calculés dans le même sens, par ligne ou par colonne.

Une grande case n’indique pas forcément une liaison : elle peut simplement provenir d’une ligne ou d’une colonne très peuplée. Le bon réflexe consiste à comparer l’effectif observé à l’effectif théorique construit avec les marges, plutôt qu’à juger la taille brute de la case.

Une enquête porte sur 100 personnes. Les lignes distinguent 50 personnes qui choisissent le thé et 50 qui choisissent le café. Les colonnes distinguent 40 personnes qui prennent du sucre et 60 qui n’en prennent pas. Les quatre effectifs observés sont annoncés dans cet ordre : 30 pour thé et sucre, 20 pour thé sans sucre, 10 pour café et sucre, 40 pour café sans sucre.

1. Les matrices des effectifs observés puis théoriques, avec les boissons en lignes et le sucre en première colonne, sont :Par exemple, l’effectif théorique de la case « thé et sucre » vaut 50 × 40 ÷ 100 = 20.

2. La statistique du chi-deux additionne, pour chaque case, le carré de l’écart entre l’effectif observé et l’effectif théorique, divisé par l’effectif théorique :Le résultat est sans unité. Il mesure ici un écart net au tableau attendu sous indépendance.

3. Le contrôle se refait avec les marges : chaque matrice totalise 50 sur chacune de ses lignes, puis 40 et 60 sur ses colonnes. Les effectifs théoriques sont tous positifs ; la comparaison peut donc être calculée sans division par zéro.

Dans une enquête, on croise par exemple une préférence avec une tranche d’âge. Si les groupes n’ont pas la même taille, les pourcentages par ligne sont plus informatifs que les effectifs bruts pour comparer leurs réponses.

Dans une étude expérimentale, on répartit les observations selon un traitement et un résultat qualitatif. Le tableau de contingence est adapté quand chaque individu appartient à une modalité de chaque caractère ; une mesure numérique conservée telle quelle demande plutôt un outil pour variables quantitatives.

Pour contrôler des données, on vérifie d’abord que les totaux marginaux concordent avec l’effectif de la population. Une différence signale une observation manquante, un double comptage ou un filtre qu’il faut expliquer avant toute interprétation.

Un tableau à double entrée quelconque peut présenter des prix, des distances ou des règles de correspondance. Il devient un tableau de contingence lorsque ses cellules comptent, ou donnent la fréquence, des individus classés simultanément selon deux caractères.

Une matrice de corrélation contient des coefficients mesurant des liaisons entre variables, et non des effectifs conjoints. Si une cellule vaut 30 personnes, il s’agit d’un comptage compatible avec un tableau de contingence ; si elle vaut un coefficient de corrélation, c’est un autre objet.

Une table de fréquences à une entrée décrit la distribution d’un seul caractère. Dès qu’une personne doit être située à la fois par une modalité de ligne et une modalité de colonne, le tableau de contingence conserve une information supplémentaire : leur combinaison.

Un effectif théorique nul rend le terme correspondant du chi-deux impossible à calculer. Des effectifs théoriques faibles rendent aussi l’approximation du test fragile ; la valeur 5 est un repère d’alerte courant, pas une frontière universelle. Il faut alors examiner les conditions précises du test, regrouper des modalités seulement si leur sens le permet ou choisir une méthode exacte adaptée.

Des pourcentages par ligne et des pourcentages par colonne répondent à deux questions différentes. Le symptôme est une même cellule affichée avec deux pourcentages possibles. Il faut annoncer le dénominateur et conserver le même sens de calcul pendant toute la comparaison.

Une association visible ou un test d’indépendance significatif ne démontre pas qu’une variable cause l’autre. Une troisième variable, le plan d’échantillonnage ou le mode de recueil peut expliquer l’écart. L’interprétation causale exige donc des informations que le tableau seul ne contient pas.

Les données manquantes ou pondérées peuvent faire perdre aux cellules leur sens de simple comptage. Si les marges ne retrouvent pas l’effectif annoncé, il faut documenter les exclusions et les poids avant de calculer des fréquences ou un chi-deux.

Le glossaire Effectif précise ce que compte chaque cellule et aide à distinguer effectifs conjoints, marginaux et total de la population.