tableau de Burt

Imaginez six personnes décrites par leur transport — vélo ou bus — et leur lieu de repas — cantine ou maison. On peut compter les cyclistes qui mangent à la cantine, puis tous les autres croisements. Le tableau de Burt rassemble ces comptages dans une grande grille.

Chaque ligne et chaque colonne représente une modalité, comme « vélo ». La grille se lit en blocs : les blocs hors diagonale croisent deux variables, tandis que les blocs diagonaux donnent les effectifs de leurs modalités.

Un tableau de Burt organise les croisements de plusieurs variables qualitatives observées sur les mêmes individus. Chaque variable possède des modalités, par exemple « vélo » et « bus » pour le transport. Les lignes et les colonnes du tableau sont indexées par l'ensemble de ces modalités, regroupées variable par variable. Le bloc associé à deux variables distinctes est leur tableau de contingence ; le bloc symétrique contient les mêmes effectifs transposés.

On note Z le tableau disjonctif complet dont les lignes représentent les individus et les colonnes les modalités. Une case vaut 1 lorsque l'individu possède la modalité, et 0 sinon. Avec cette orientation usuelle, le tableau de Burt noté B est le produit suivant :

Le tableau B est donc carré, symétrique et formé d'effectifs entiers non négatifs. Dans un bloc diagonal, les modalités différentes d'une même variable ne coexistent pas pour un individu : les cases hors diagonale valent 0, et la diagonale donne les effectifs des modalités. Ce tableau sert notamment de donnée d'entrée à l'analyse des correspondances multiples.

Dans un logiciel d'analyse de questionnaires, le tableau de Burt apparaît comme une matrice carrée dont les intitulés de lignes sont repris à l'identique en colonnes. Les modalités sont rangées par groupes correspondant aux variables. Des carrés de zéros séparent les modalités distinctes d'une même variable, et les blocs placés de part et d'autre de la diagonale se répondent par symétrie.

Toutes les cases portent des effectifs, pas des valeurs mesurées comme des tailles ou des températures. Le support condense ainsi, dans une seule grille, les associations deux à deux entre les réponses qualitatives d'un même ensemble d'individus.

La grandeur lue dans une case est un effectif d'individus. 1. Repérez d'abord les groupes de modalités qui délimitent les blocs.

2. Choisissez un bloc hors diagonale. Sa ligne et sa colonne nomment deux modalités appartenant à deux variables ; leur intersection compte les individus qui possèdent les deux.

3. Contrôlez la case symétrique par rapport à la diagonale principale : elle doit porter le même effectif. 4. Dans un bloc diagonal, lisez seulement la diagonale comme les effectifs des modalités.

Une grande case peut sembler signaler une association forte, mais elle peut simplement refléter une modalité très fréquente. Le bon réflexe consiste à comparer l'effectif observé aux marges du bloc, comme dans un tableau de contingence, avant d'interpréter une liaison.

Six personnes sont décrites par deux variables. Pour le transport, trois prennent le vélo et trois le bus. Pour le repas, trois mangent à la cantine et trois à la maison. Les couples observés sont : vélo-cantine deux fois, vélo-maison une fois, bus-cantine une fois et bus-maison deux fois.

1. On ordonne les modalités ainsi : vélo, bus, cantine, maison.

2. Le bloc transport-transport place les effectifs 3 et 3 sur sa diagonale, avec des zéros ailleurs. Le bloc repas-repas est identique.

3. Le bloc transport-repas contient les quatre croisements annoncés. Le bloc repas-transport est sa transposée. On obtient :

4. Le contrôle est direct : la matrice est symétrique et chaque ligne totalise 6. Comme chaque personne fournit une modalité pour chacune des deux variables, la somme de toutes les cases vaut 24, soit 6 × 2². La figure rend visibles les quatre blocs et ces effectifs.

Dans une enquête comportant plusieurs questions à choix unique, le tableau de Burt réunit tous les croisements deux à deux avant une analyse des correspondances multiples. Si seules deux questions intéressent l'étude, un simple tableau de contingence est plus lisible.

Pour vérifier un export statistique, on compare les blocs opposés et les effectifs diagonaux. Une asymétrie ou un total incohérent signale un problème de codage, de filtrage ou de pondération.

Pour conserver les observations individuelles ou ajuster directement un modèle à leurs réponses, le tableau disjonctif complet est préférable. Le tableau de Burt est choisi lorsque l'on veut travailler sur les cooccurrences agrégées entre modalités.

Tableau de contingence bidimensionnel. Il croise deux variables, avec les modalités de l'une en lignes et celles de l'autre en colonnes. Avec trois variables ou davantage, le tableau de Burt juxtapose tous ces croisements dans une matrice carrée.

Tableau disjonctif complet. Ses lignes représentent les individus et ses colonnes les modalités ; ses cases valent 0 ou 1. Dans le tableau de Burt, lignes et colonnes représentent des modalités, et les cases sont des effectifs pouvant dépasser 1.

Matrice de corrélation. Elle contient des coefficients normalisés, généralement compris entre −1 et 1, entre variables numériques. Une case valant 12 dans un tableau de Burt compte douze individus ; elle n'est pas un coefficient de corrélation.

Orientation du tableau disjonctif. La formule dépend de la convention de rangement. Si les individus sont en lignes dans Z, le bon produit est $Z^{\mathsf{T}}ZZ^\{\backslash mathsf\; T\}Z$. Le produit inverse croise alors les individus, pas les modalités.

Modalité absente. Une modalité conservée dans le codage mais observée zéro fois produit une ligne et une colonne entièrement nulles. Elle n'apporte aucune information et doit être retirée ou traitée explicitement avant l'analyse factorielle.

Données manquantes ou pondérées. Le total d'une ligne n'obéit plus au contrôle simple de l'exemple si certains individus n'ont pas une modalité par variable ou reçoivent des poids. Il faut annoncer la règle de codage et recalculer les marges selon cette règle.

Information répétée. Les deux blocs opposés contiennent le même croisement, et les blocs diagonaux sont imposés par le codage exclusif. Il ne faut donc pas lire toutes les cases comme autant d'observations indépendantes.

Le tableau de contingence permet d'approfondir la lecture d'un bloc isolé et de ses marges.

La fiche sur la Transposée précise l'opération matricielle qui explique la symétrie des blocs.

L'analyse factorielle des correspondances présente le cadre dont l'analyse des correspondances multiples prolonge le principe pour plusieurs variables qualitatives.