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Blocs (matrice par)

Une matrice par blocs est une matrice découpée en sous-matrices rectangulaires appelées blocs. La décomposition en blocs est compatible avec les opérations matricielles : la somme, le produit et la transposition de matrices par blocs se calculent en traitant les blocs comme des scalaires, à condition que les tailles soient compatibles. Les matrices diagonales par blocs sont des généralisations des matrices diagonales et sont diagonalisables bloc par bloc lorsque chaque bloc diagonal est diagonalisable sur le corps considéré. La décomposition de Schur et la forme de Jordan sont des décompositions en blocs importants.

Les frontières rouges regroupent les calculs : les deux blocs du haut donnent (2, 3), ceux du bas donnent (2, 1).

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Identifier les lignes, colonnes et frontières qui forment les blocs.
Effectuer un produit matrice-vecteur avec quatre blocs 2 × 2.
Vérifier la compatibilité des dimensions et l’ordre des facteurs.
Distinguer matrice diagonale et matrice diagonale par blocs.

En clair

Imaginez une grille de 4 lignes et 4 colonnes. En traçant une séparation après la deuxième ligne et la deuxième colonne, quatre petits rectangles de nombres apparaissent. Chacun est un bloc. La grande matrice n’a pas changé : seul son découpage rend sa structure visible.

On peut alors additionner, transposer ou multiplier ces rectangles selon l’organisation habituelle des lignes et des colonnes. Il faut toutefois vérifier leurs dimensions : deux blocs placés dans un même calcul doivent pouvoir être additionnés ou multipliés.

Définition

Une matrice par blocs est une matrice dont les lignes et les colonnes sont réparties en groupes contigus. Le croisement d’un groupe de lignes et d’un groupe de colonnes forme une sous-matrice rectangulaire, appelée bloc. Le découpage est une organisation de la matrice, non une nouvelle opération sur ses coefficients.

Deux matrices ayant le même découpage s’additionnent bloc par bloc. La transposée échange les blocs autour de la diagonale et transpose chacun d’eux. Pour le produit, le bloc situé à la ligne de blocs numéro i et à la colonne de blocs numéro j s’obtient en sommant les produits compatibles le long de l’indice k :

(AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}

. Chaque largeur d’un bloc de la première matrice doit donc égaler la hauteur du bloc correspondant de la seconde.

Une matrice diagonale par blocs possède des blocs nuls hors de sa diagonale de blocs. Elle généralise la matrice diagonale, mais ses blocs diagonaux peuvent eux-mêmes contenir des coefficients hors diagonale. Les décompositions de Schur et les formes de Jordan organisent également une matrice en blocs utiles à son étude.

De quoi c'est fait

Un découpage par blocs repose sur quatre éléments. Les coefficients restent les nombres de la matrice d’origine. Les groupes de lignes fixent la hauteur des blocs, tandis que les groupes de colonnes en fixent la largeur. Enfin, les frontières indiquent où un groupe se termine et où le suivant commence.

Toutes les cases d’une même rangée de blocs partagent donc la même hauteur, et toutes celles d’une même colonne de blocs partagent la même largeur. Ces dépendances rendent le découpage rectangulaire et déterminent quels produits de blocs sont possibles. La couleur ou l’épaisseur d’un trait peuvent aider à le lire, mais ne définissent pas la structure. Ces seules données suffisent à reconstruire la matrice et à organiser ses opérations.

Un exemple, pas à pas

Considérons une matrice de 4 lignes et 4 colonnes, partagée après la deuxième ligne et la deuxième colonne. Ses quatre blocs sont

A_{11}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

A_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

A_{21}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}

A_{22}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

. Le vecteur à multiplier est partagé en deux morceaux :

u=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}

v=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

1. Le morceau supérieur du résultat vaut

A_{11}u+A_{12}v=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}

.
2. Le morceau inférieur vaut

A_{21}u+A_{22}v=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

.
3. En réunissant les deux morceaux, on obtient

Ax=\begin{pmatrix}2\\3\\2\\1\end{pmatrix}

Le schéma rend visibles les quatre blocs et les deux morceaux du vecteur. Pour contrôler le résultat, on peut reprendre chaque ligne de la matrice complète : ses produits scalaires avec le vecteur donnent successivement 2, 3, 2 et 1.

En pratique

Pour effectuer un produit matriciel, regroupez les lignes et les colonnes selon les mêmes frontières que les données. Le calcul par blocs est préférable au calcul coefficient par coefficient lorsque les sous-matrices se réutilisent et que leurs dimensions compatibles sont immédiatement visibles.

Lorsqu’une matrice possède des blocs nuls hors de sa diagonale de blocs, travaillez séparément sur les blocs diagonaux. Si ces zéros n’existent pas, cette séparation n’est plus valable et il faut conserver les produits entre blocs.

Pour lire une décomposition de Schur ou une forme de Jordan, commencez par repérer les frontières des blocs et leur ordre. Une lecture bloc par bloc est utile si la question porte sur leur structure ; la matrice complète reste nécessaire pour suivre les interactions hors diagonale.

À ne pas confondre

Une matrice par blocs n’est pas une simple collection de sous-matrices choisies séparément. Les blocs d’un découpage couvrent chaque coefficient exactement une fois, sans trou ni chevauchement. Des sous-matrices qui partagent une case ou en laissent de côté ne forment donc pas ce découpage.

Une matrice diagonale par blocs n’est pas forcément une matrice diagonale. Dans la première, seuls les blocs hors diagonale doivent être nuls ; un bloc diagonal peut contenir plusieurs coefficients non nuls. Par exemple, le bloc

\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

empêche la matrice complète d’être diagonale au sens ordinaire.

Limites et pièges

Dimensions incompatibles. Deux blocs ne se multiplient que si la largeur du premier égale la hauteur du second. Une différence d’une seule colonne suffit à rendre le produit impossible ; il faut alors modifier le découpage ou revenir au calcul sur la matrice complète.

Fausse analogie avec les scalaires. Les règles de position ressemblent au calcul ordinaire, mais l’ordre des facteurs compte : en général,

A_{ik}B_{kj}\ne B_{kj}A_{ik}

. Il ne faut donc ni permuter les blocs ni simplifier un produit sans justification.

Diagonalisation non automatique. Une matrice diagonale par blocs est diagonalisable bloc par bloc seulement lorsque chacun de ses blocs diagonaux est lui-même diagonalisable sur le corps considéré. Si un bloc ne l’est pas, la matrice complète ne l’est pas davantage ; l’étude des valeurs propres doit conserver cette condition.

Déterminant par blocs. Pour une matrice carrée diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont carrés, le déterminant est le produit des déterminants de ces blocs. Pour un découpage arbitraire, appliquer directement la formule d’une matrice 2 × 2 aux quatre blocs peut être faux, car les blocs ne commutent pas.

Pour aller plus loin

Diagonale — Pour comparer la diagonale ordinaire avec la diagonale formée de blocs.

valeur propre — Pour approfondir la condition de diagonalisation de chaque bloc.

algèbre linéaire — Pour replacer les calculs matriciels et leurs décompositions dans leur cadre général.

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En pratique

À ne pas confondre

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