matrice par bloc

Imaginez une grande grille de nombres dont on sépare certaines lignes et certaines colonnes. Les rectangles ainsi délimités sont les blocs. On peut alors lire et manipuler la grille par groupes cohérents plutôt que nombre par nombre.

Lorsque seuls les blocs posés sur la grande diagonale contiennent des valeurs non nulles, la matrice est bloc-diagonale. Chaque bloc diagonal forme alors un petit problème indépendant, ce qui rend possibles plusieurs calculs bloc par bloc.

Une matrice par blocs, aussi appelée matrice partitionnée, est une matrice dont les lignes sont réparties en groupes et les colonnes en groupes. Chaque intersection d’un groupe de lignes et d’un groupe de colonnes forme une sous-matrice rectangulaire. Si le nombre de groupes de lignes est noté p et celui des groupes de colonnes q, la matrice A s’écrit comme un assemblage de blocs A_ij :

Les coupures fixent les dimensions des blocs : deux blocs d’une même rangée ont le même nombre de lignes, et deux blocs d’une même colonne ont le même nombre de colonnes. Cette organisation ne change ni les coefficients ni les dimensions de A. Elle permet l’addition lorsque les partitions coïncident et le produit lorsque les tailles intérieures des blocs sont compatibles. Dans le cas bloc-diagonal, A est carrée, les blocs diagonaux sont carrés et tous les blocs hors diagonale sont nuls. Le déterminant est alors le produit des déterminants des blocs diagonaux. La matrice est inversible exactement lorsque chacun de ces blocs l’est, et son inverse s’obtient en inversant chaque bloc diagonal.

Quatre éléments organisent une matrice par blocs. Les groupes de lignes déterminent la hauteur de chaque rangée de blocs. Les groupes de colonnes en déterminent la largeur. Le bloc A_ij réunit les coefficients communs au i^e groupe de lignes et au j^e groupe de colonnes. Enfin, les frontières de blocs matérialisent ces deux partitions sans ajouter ni supprimer de coefficient.

La largeur d’un bloc dépend donc de son groupe de colonnes, tandis que sa hauteur dépend de son groupe de lignes. Deux blocs ne peuvent être additionnés que s’ils ont les mêmes dimensions. Pour les multiplier, le nombre de colonnes du premier doit égaler le nombre de lignes du second. Ce sont les coupures choisies, et non la couleur ou l’épaisseur d’un tracé, qui définissent la structure et rendent les calculs par blocs possibles.

Considérons une matrice A de taille 4 × 4, découpée après la deuxième ligne et la deuxième colonne. Ses deux blocs diagonaux sont B et C ; les deux blocs hors diagonale sont nuls.

1. Pour le premier bloc, on calcule det(B) = 1 × 4 − 2 × 3 = −2.
2. Pour le second, on obtient det(C) = 2 × 2 − 1 × 1 = 3.
3. Comme A est bloc-diagonale, son déterminant vaut det(A) = det(B) × det(C) = (−2) × 3 = −6.
4. Le résultat est non nul : B et C sont inversibles, donc A l’est aussi.

Le contrôle peut être refait directement : développer le déterminant 4 × 4 selon les deux premières lignes redonne −6. Le découpage n’a pas modifié la matrice ; il a isolé deux calculs de taille 2 × 2.

Pour multiplier deux matrices structurées, on choisit des coupures compatibles puis on effectue les mêmes sommes de produits qu’avec des coefficients. Si les tailles intérieures des blocs ne coïncident pas, il faut déplacer les coupures ou revenir au calcul coefficient par coefficient.

Pour une matrice bloc-diagonale comme A, on calcule séparément sur B et C. Cette voie est préférable à un calcul global lorsque les blocs hors diagonale sont tous nuls ; le déterminant, l’inversion et l’action de la matrice se ramènent alors aux blocs diagonaux.

Pour une grande matrice creuse, le dessin des blocs révèle les groupes de coefficients non nuls. Si une valeur non nulle apparaît dans un bloc hors diagonale, les groupes ne sont pas indépendants : il faut conserver ce bloc de couplage dans le calcul.

Matrice par blocs et matrice bloc-diagonale. Toute matrice bloc-diagonale est partitionnée, mais une matrice partitionnée peut avoir des blocs non nuls hors de la diagonale. La présence d’un seul coefficient non nul dans l’un de ces blocs tranche la distinction.

Matrice diagonale et matrice bloc-diagonale. Dans une matrice diagonale, tout coefficient extérieur à la diagonale principale est nul. Dans A, les valeurs 2 et 3 du bloc B sont hors de cette diagonale : A est bloc-diagonale, mais elle n’est pas diagonale.

Matrice creuse et matrice bloc-diagonale. Une matrice creuse contient beaucoup de zéros, sans imposer leur emplacement. Elle n’est bloc-diagonale de façon non triviale que si une partition en au moins deux blocs place tous les coefficients non nuls dans les blocs diagonaux.

Un découpage ne crée pas l’indépendance. Si un bloc hors diagonale contient une valeur non nulle, les groupes restent couplés. Le symptôme est visible dans ce bloc : il faut le conserver dans les produits et ne pas calculer chaque bloc diagonal isolément.

Les tailles doivent s’accorder. Pour un produit de blocs, la largeur du bloc de gauche doit égaler la hauteur du bloc de droite. Au premier écart, le produit concerné n’est pas défini ; il faut modifier les partitions ou reprendre le produit coefficient par coefficient.

Un seul bloc singulier bloque l’inverse. Dans une matrice bloc-diagonale, si un bloc diagonal a un déterminant égal à 0, ce bloc n’est pas inversible et la matrice entière ne l’est pas. Il ne faut donc inverser les blocs qu’après avoir vérifié chacun d’eux.

La formule du déterminant a un domaine précis. Le produit des déterminants des blocs diagonaux vaut le déterminant de la matrice bloc-diagonale carrée. Pour une partition générale avec des blocs hors diagonale non nuls, ce raccourci n’est pas valable ; il faut employer une méthode adaptée à la matrice complète.

La fiche matrice inverse précise les conditions d’inversibilité et le calcul de l’inverse, ici appliqués séparément aux blocs diagonaux.

La fiche Diagonale aide à distinguer la diagonale principale d’une matrice des blocs carrés disposés le long de celle-ci.