AlgèbreNotion · Glossaire
Tridiagonale
Une matrice tridiagonale est une matrice carrée dont les seuls éléments non nuls se trouvent sur la diagonale principale et les deux diagonales immédiatement adjacentes (sur-diagonale et sous-diagonale). Les systèmes linéaires à matrice tridiagonale peuvent être résolus très efficacement par l'algorithme de Thomas, une variante simplifiée de l'élimination de Gauss. Ces matrices apparaissent naturellement dans la discrétisation d'opérateurs différentiels.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer les trois diagonales où des coefficients non nuls sont permis.
- Suivre une élimination puis une remontée de l'algorithme de Thomas.
- Identifier les pivots nuls et les cas où un solveur avec pivotement est nécessaire.
En clair
Imaginez une grille carrée de nombres. Dans une matrice tridiagonale, les valeurs éventuellement non nulles forment trois lignes obliques serrées : la diagonale centrale et ses deux voisines immédiates. Toutes les autres cases contiennent zéro.
Cette disposition traduit souvent des interactions locales : chaque inconnue est reliée à elle-même et, au plus, à ses deux voisines. Comme toutes les cases hors de cette bande sont nulles, un système associé peut être traité sans effectuer tous les calculs exigés par une matrice pleine. La matrice de l'exemple rend cette organisation visible avant le calcul.
Définition
Une matrice tridiagonale est une matrice carrée de taille n dont un coefficient peut être non nul seulement lorsque sa ligne et sa colonne portent le même numéro, ou deux numéros consécutifs. Si le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j est noté aij, la condition s'écrit .
Les coefficients de la diagonale principale sont notés b1, …, bn. Ceux de la sous-diagonale sont a2, …, an, et ceux de la sur-diagonale c1, …, cn−1. La structure générale est donc
Les trois diagonales n'ont pas à être entièrement non nulles : une matrice diagonale est notamment un cas particulier tridiagonal.
Pour résoudre un système dont la matrice possède cette forme, l'algorithme de Thomas élimine successivement les coefficients de la sous-diagonale, puis effectue une remontée. Cette élimination de Gauss spécialisée exploite seulement les trois diagonales. Elle est très efficace lorsque les pivots successifs nécessaires sont non nuls ; la seule forme tridiagonale ne garantit ni cette condition ni l'existence d'une solution unique.
Un exemple, pas à pas
On cherche trois nombres x1, x2 et x3. La diagonale principale vaut (2, 2, 2), les deux diagonales adjacentes valent (−1, −1), et le second membre vaut (1, 0, 1). Le système est
1. La première ligne est normalisée : le coefficient supérieur devient −1/2 et le second membre modifié devient 1/2.
2. Sur la deuxième ligne, le pivot modifié vaut 2 − (−1)(−1/2) = 3/2. Le coefficient supérieur devient −2/3 et le second membre modifié vaut 1/3.
3. Sur la troisième ligne, le pivot modifié vaut 2 − (−1)(−2/3) = 4/3. Son second membre modifié vaut [1 − (−1)(1/3)]/(4/3) = 1, donc x3 = 1.
4. La remontée donne x2 = 1/3 − (−2/3) × 1 = 1, puis x1 = 1/2 − (−1/2) × 1 = 1. Le résultat est donc (1, 1, 1). En le remplaçant dans les trois lignes, on retrouve exactement 1, 0 et 1 : le contrôle valide la solution.
En pratique
Lorsqu'un opérateur différentiel en une dimension est discrétisé en ne reliant chaque point qu'à ses voisins immédiats, le système obtenu est souvent tridiagonal. On stocke alors les trois diagonales utiles et on applique une méthode spécialisée, plutôt qu'une élimination générale sur toutes les cases.
Pour choisir l'algorithme de Thomas, on vérifie d'abord la forme carrée, l'absence de coefficients non nuls hors des trois diagonales et la validité des pivots successifs. Si un pivot s'annule ou devient numériquement problématique, un solveur avec pivotement est préférable.
Dans une chaîne de relations locales, la structure se repère en ordonnant les inconnues : chaque équation ne fait intervenir que l'inconnue courante et ses voisines. Si des relations à plus longue portée apparaissent, il faut conserver une structure en bande plus large ou employer une méthode pour matrices creuses.
À ne pas confondre
Matrice diagonale. Elle n'autorise des coefficients non nuls que sur la diagonale principale. Si les deux diagonales adjacentes sont nulles, la matrice est à la fois diagonale et tridiagonale ; un coefficient adjacent non nul suffit à exclure la première qualification.
Matrice en bande. Ses coefficients non nuls restent près de la diagonale principale, mais la bande peut être plus large. Un coefficient non nul situé deux colonnes à droite de sa ligne respecte une bande de largeur adaptée, mais interdit de qualifier la matrice de tridiagonale.
Matrice triangulaire. Tous ses coefficients d'un même côté de la diagonale principale sont nuls, sans restriction symétrique de distance de l'autre côté. Une matrice avec des valeurs non nulles très loin au-dessus de la diagonale peut être triangulaire supérieure sans être tridiagonale.
Limites et pièges
Petit ordre. Pour une matrice 1 × 1 ou 2 × 2, aucune case ne se trouve à plus d'une diagonale de la principale. Toute matrice carrée de ces tailles est donc tridiagonale, même si cette qualification apporte peu d'information.
Pivot nul. La matrice suivante est tridiagonale et inversible :
Pourtant, l'algorithme de Thomas sans pivotement bloque dès son premier pivot, égal à zéro. Il faut alors permuter des lignes avec une méthode adaptée ou choisir un solveur avec pivotement.
Structure insuffisante. Être tridiagonale ne garantit pas qu'une matrice soit inversible. Si un pivot modifié s'annule pendant l'élimination, le calcul standard ne peut pas continuer ; il faut examiner le système et employer une méthode qui gère les permutations ou la singularité.
Zéros autorisés. Le préfixe « tri- » décrit trois diagonales où des valeurs non nulles sont permises, et non trois diagonales obligatoirement remplies. La présence de zéros sur l'une d'elles ne retire donc pas la propriété tridiagonale.
Pour aller plus loin
L'article algorithme précise ce qui caractérise une procédure de calcul finie et ordonnée, cadre dans lequel s'inscrit la méthode de Thomas.
La fiche Opérateur différentiel éclaire l'objet continu dont certaines discrétisations produisent naturellement des matrices tridiagonales.
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