AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Opérateur différentiel
Un opérateur différentiel est une application qui transforme des fonctions en fonctions en faisant intervenir des dérivées. Les exemples fondamentaux sont l'opérateur de dérivation, le gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien. Un opérateur différentiel linéaire d'ordre n s'écrit comme une combinaison linéaire de dérivées partielles d'ordre au plus n, à coefficients fonctionnels. Ils jouent un rôle central dans l'étude des équations aux dérivées partielles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les données qui composent un opérateur différentiel.
- Calculer le laplacien d'une fonction quadratique de deux variables.
- Distinguer un opérateur d'une équation différentielle et d'un opérateur intégral.
- Repérer les conditions de régularité, d'ordre et de coordonnées.
En clair
Imaginez une carte où chaque point porte une altitude. Une dérivée indique comment cette altitude varie dans une direction. Un opérateur différentiel organise une ou plusieurs de ces mesures et produit une nouvelle fonction.
Selon la recette choisie, le résultat peut décrire la pente, l'accumulation locale ou la courbure moyenne. L'opérateur agit donc sur la fonction entière, mais sa valeur en un point dépend de son comportement au voisinage de ce point.
Définition
Un opérateur différentiel associe à une fonction suffisamment dérivable une nouvelle fonction obtenue à partir de ses dérivées. Le domaine, le nombre de variables et le type des valeurs doivent être précisés : le gradient transforme par exemple une fonction scalaire en champ vectoriel, tandis que la divergence transforme un champ vectoriel en fonction scalaire.
Pour une fonction f de plusieurs variables et un opérateur linéaire L d'ordre au plus m, la forme locale générale est . Le multi-indice α indique quelles dérivées partielles sont prises, et chaque fonction aα fournit un coefficient qui peut varier avec le point x. L'ordre vaut exactement m lorsqu'au moins un coefficient d'une dérivée d'ordre m n'est pas identiquement nul.
La dérivation, le gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien sont des exemples linéaires usuels. Il existe aussi des opérateurs différentiels non linéaires, pour lesquels le résultat ne respecte pas la superposition. Les espaces de fonctions retenus doivent garantir l'existence des dérivées utilisées.
De quoi c'est fait
Un opérateur différentiel est déterminé par quatre données liées. Son domaine fixe les fonctions admissibles et leur régularité. Les dérivées choisies indiquent les directions et l'ordre observés. Les coefficients pondèrent ces dérivées et peuvent dépendre du point. Enfin, l'espace d'arrivée précise si le résultat est scalaire, vectoriel ou d'une autre nature.
Le domaine doit fournir toutes les dérivées exigées, et le type du résultat dépend de leur combinaison. Ces données suffisent à calculer l'image d'une fonction admissible. La notation ou le choix de coordonnées peut changer sans modifier l'opérateur, à condition de transformer correctement ses coefficients. Le schéma associé montre ce mécanisme sur le laplacien utilisé dans l'exemple.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans le plan avec deux variables réelles x et y. La fonction est . L'opérateur choisi est le laplacien Δ, somme des deux dérivées partielles secondes : .
1. Par rapport à x, la première dérivée est 2x + 3y, puis la seconde vaut 2.
2. Par rapport à y, la première dérivée est 3x + 4y, puis la seconde vaut 4.
3. On additionne les deux dérivées secondes : .
2. Par rapport à y, la première dérivée est 3x + 4y, puis la seconde vaut 4.
3. On additionne les deux dérivées secondes : .
Le laplacien transforme donc ici la fonction quadratique f en la fonction constante 6. Le contrôle est refaisable directement : le terme croisé 3xy disparaît après deux dérivations selon une même variable, tandis que x² et 2y² fournissent respectivement 2 et 4.
En pratique
Pour décrire la pente locale d'une fonction scalaire de plusieurs variables, on emploie le gradient. Une simple dérivée ordinaire suffit lorsque la fonction ne dépend que d'une variable.
Pour mesurer si un champ vectoriel se comporte localement comme une source ou un puits, on calcule sa divergence. Le rotationnel est préféré lorsque la question porte sur la circulation locale du champ.
Dans une équation aux dérivées partielles, l'opérateur condense l'action des dérivées. Le laplacien convient lorsque la somme des courbures selon les directions est en jeu ; d'autres opérateurs s'imposent si les coefficients, l'ordre ou le type de fonction diffèrent.
À ne pas confondre
Un opérateur différentiel n'est pas une équation différentielle. L'opérateur est une transformation, comme Δ ; l'équation impose une relation, comme . Dans l'exemple, calculer Δf applique l'opérateur, tandis que chercher toutes les fonctions satisfaisant cette relation résout une équation.
Un opérateur différentiel n'est pas non plus un opérateur intégral. Le premier utilise des dérivées locales de la fonction ; le second fait intervenir ses valeurs sur un ensemble d'intégration. Le calcul Δf = 6 ne demande aucune intégrale.
Limites et pièges
Une formule différentielle n'agit pas sur toute fonction sans condition. Si l'opérateur contient des dérivées secondes et que la fonction n'est pas deux fois dérivable au sens classique, le calcul ponctuel peut échouer. Il faut alors restreindre le domaine ou préciser un sens plus faible des dérivées.
Dire qu'un opérateur est d'ordre m exige qu'une dérivée d'ordre m intervienne effectivement. Si tous les coefficients de rang m sont identiquement nuls, l'ordre réel est inférieur, même si l'écriture autorise des termes jusqu'à ce rang.
La formule en coordonnées cartésiennes ne se recopie pas automatiquement dans un autre système de coordonnées. Des facteurs supplémentaires peuvent apparaître. Il faut employer la formule correspondant au repère et à la géométrie considérés.
L'opérateur seul ne détermine pas toujours une solution unique d'une équation. Sur un domaine donné, des conditions initiales ou au bord peuvent être nécessaires. Elles appartiennent au problème posé, pas à la définition de l'opérateur.
Pour aller plus loin
La Dérivée partielle détaille la brique de calcul utilisée par les opérateurs portant sur plusieurs variables.
Le Rotationnel montre comment un opérateur différentiel caractérise la circulation locale d'un champ vectoriel.
Le laplacien d'une fonction approfondit l'opérateur appliqué pas à pas dans cette fiche.
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