AnalyseNotion · Glossaire
divergence d'un champ de vecteurs
En analyse vectorielle, la divergence d'un champ de vecteurs est un opérateur différentiel qui associe à chaque point de l'espace un scalaire mesurant le taux d'expansion ou de contraction du champ en ce point. En dimension 3, pour un champ de vecteurs A = (A_x, A_y, A_z), la divergence est définie par : div A = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/∂z. Cette expression peut s'interpréter comme le produit scalaire formel de l'opérateur nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) et du vecteur A, ce qui justifie la notation div A = ∇ · A. La divergence intervient fondamentalement dans le théorème de la divergence (ou théorème de Gauss-Ostrogradski), qui relie le flux d'un champ à travers une surface fermée à l'intégrale de sa divergence sur le volume délimité. En physique, la divergence est utilisée pour formuler des lois de conservation et des lois physiques locales, notamment en mécanique des fluides (équation de continuité) et en électromagnétisme (équations de Maxwell).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le signe de la divergence comme un bilan local de flux.
- Calculer la divergence cartésienne du champ v = (2x, −y, 0).
- Contrôler le résultat par le flux net à travers un cube.
- Distinguer divergence, gradient, rotationnel et flux.
- Repérer les limites liées à la régularité et au système de coordonnées.
En clair
Imaginez une minuscule boîte plongée dans un courant d’eau. Des flèches indiquent, autour d’elle, la vitesse et la direction du liquide. Si davantage d’eau sort de la boîte qu’il n’en entre, la divergence est positive. Si davantage y entre, elle est négative. Si les deux quantités se compensent, elle est nulle.
La divergence décrit donc un bilan local autour d’un point. Elle ne mesure ni la longueur des flèches, ni leur orientation moyenne : elle révèle plutôt une tendance de source, de puits ou d’équilibre.
Définition
Un champ de vecteurs associe un vecteur à chaque point d’une région de l’espace. En coordonnées cartésiennes x, y et z, on note ses trois composantes Ax, Ay et Az. Lorsque ces composantes admettent les dérivées partielles nécessaires, la divergence du champ A est le scalaire défini en chaque point par .
L’opérateur nabla, noté ∇, rassemble formellement les trois dérivées selon x, y et z. La notation se lit comme un produit scalaire formel. Une valeur positive indique un excédent local de flux sortant ; une valeur négative, un excédent entrant. Une divergence nulle exprime seulement l’équilibre de ce bilan local.
Pour un volume et un champ suffisamment réguliers, le théorème de la divergence, ou théorème de Gauss-Ostrogradski, égalise le flux à travers la surface fermée et l’intégrale de la divergence dans le volume. Ce passage du local au global intervient dans les lois de conservation, l’équation de continuité en mécanique des fluides et les équations de Maxwell en électromagnétisme.
Un exemple, pas à pas
Données. Les coordonnées x, y et z sont mesurées en mètres. La vitesse d’un fluide, en mètres par seconde, est donnée par . Pour contrôler le résultat, on considère le cube centré à l’origine, de côté 2 m.
1. La composante selon x est vx = 2x. Sa dérivée par rapport à x vaut 2 s−1.
2. La composante selon y est vy = −y, donc sa dérivée par rapport à y vaut −1 s−1. La composante selon z est nulle, comme sa dérivée.
3. La somme donne . La divergence est constante : le bilan local est positif en tout point.
4. Sur les deux faces perpendiculaires à l’axe x, le flux sortant total vaut 16 m3/s. Sur les deux faces perpendiculaires à l’axe y, le flux vaut −8 m3/s. Les faces horizontales ne contribuent pas.
Contrôle. Le flux net vaut donc 8 m3/s. Divisé par le volume 8 m3 du cube, il redonne 1 s−1. La coupe du champ dans le plan z = 0 montre que l’entrée verticale ne compense pas la sortie horizontale.
En pratique
En mécanique des fluides, on calcule la divergence du champ de vitesse pour repérer un bilan local d’expansion ou de contraction. Pour un fluide incompressible de densité constante, une divergence nulle traduit la conservation locale du volume. Si la densité varie, il faut employer l’équation de continuité complète.
En électromagnétisme, les équations de Maxwell utilisent la divergence pour écrire localement le lien entre certains champs et leurs sources. Pour obtenir plutôt un flux total à travers une surface fermée, le théorème de Gauss-Ostrogradski fournit la forme intégrale adaptée.
Dans une loi de conservation, la divergence transforme un champ de transport en bilan par unité de volume. Une valeur au point convient à une analyse locale ; le flux de frontière convient lorsque la question porte sur tout un volume.
À ne pas confondre
Le gradient. Il transforme un champ scalaire, par exemple une température, en un vecteur indiquant sa variation la plus rapide. La divergence fait l’opération d’un autre type : elle transforme un champ de vecteurs en un scalaire.
Le rotationnel. Il mesure une circulation locale et produit un vecteur en dimension 3. Le champ a une divergence nulle, mais présente une rotation locale non nulle : les deux tests ne répondent pas à la même question.
Le flux. Le flux est associé à une surface orientée, tandis que la divergence est définie en un point. Dans l’exemple du cube, 8 m3/s est le flux net de la surface ; 1 s−1 est la divergence dans le volume.
Limites et pièges
Champ non régulier. Si une composante n’admet pas la dérivée partielle requise en un point, la formule classique de la divergence n’y est pas directement applicable. Il faut alors revenir à un bilan de flux intégral ou employer une notion de dérivée généralisée adaptée.
Divergence nulle. La valeur charnière 0 ne signifie ni champ nul, ni fluide immobile. Un champ constant peut transporter de la matière avec une vitesse non nulle tout en gardant un bilan entrant-sortant exactement équilibré.
Signe trompeur à l’œil. Une divergence positive n’oblige pas toutes les flèches à pointer vers l’extérieur. Dans le champ v = (2x, −y, 0), elles convergent selon y, mais l’expansion deux fois plus forte selon x impose un bilan positif. Il faut additionner les trois dérivées.
Autres coordonnées. La somme ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z est la formule cartésienne. En coordonnées cylindriques ou sphériques, les facteurs d’échelle changent l’écriture ; il faut utiliser la formule propre au système choisi.
Pour aller plus loin
Dérivée partielle. Revoir l’opération appliquée à chaque composante dans le calcul cartésien de la divergence.
Rotationnel. Distinguer le bilan local de flux de la circulation locale d’un champ.
James Clerk Maxwell. Situer le physicien dont les équations mobilisent la divergence en électromagnétisme.
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