GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Green-Ostrogradski
Le théorème de Green-Ostrogradski affirme que, pour un domaine borné Ω de ℝ³ à frontière suffisamment régulière, orientée par la normale extérieure, et un champ de vecteurs F de classe C¹ sur un voisinage de sa fermeture, l’intégrale de la divergence de F dans Ω est égale au flux de F à travers sa frontière. Il transforme ainsi un bilan local des sources et des puits dans un volume en un bilan global sur sa frontière, ce qui permet de choisir le calcul le plus simple.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le bilan local de divergence au flux total à travers une surface fermée.
- Identifier les hypothèses de régularité, de fermeture et d’orientation.
- Vérifier l’égalité sur le champ radial dans la boule unité.
- Repérer une orientation inversée, une cavité ou une singularité.
En clair
Imaginez un ballon fermé rempli d’un fluide qui peut être créé ou absorbé en chaque point. On peut mesurer tout ce qui traverse la peau du ballon vers l’extérieur. On peut aussi additionner, dans tout son volume, les petits bilans locaux de création et d’absorption.
Le théorème de Green-Ostrogradski affirme que ces deux bilans sont égaux. La divergence décrit le bilan local du champ, tandis que le flux décrit ce qui franchit la frontière. Une source intérieure contribue au flux sortant ; un puits contribue en sens opposé.
Définition
Le théorème de Green-Ostrogradski, ou théorème de la divergence, relie une grandeur calculée dans un volume à une grandeur calculée sur sa frontière. Soit Ω un domaine borné de ℝ3, et soit ∂Ω sa surface frontière orientée vers l’extérieur. Un champ de vecteurs F associe un vecteur à chaque point d’un voisinage de Ω. Sa divergence, notée , mesure en chaque point le bilan infinitésimal sortant.
Lorsque le domaine, sa frontière et le champ sont suffisamment réguliers, l’intégrale de cette divergence dans Ω égale le flux total de F à travers ∂Ω :
Le vecteur n est la normale unitaire extérieure ; le produit scalaire de F par n retient la composante qui traverse la frontière. Le résultat est aussi appelé théorème de flux-divergence. Il constitue le cas tridimensionnel du théorème de Stokes généralisé.
Le principe
Si Ω est un domaine borné de ℝ3 à frontière suffisamment régulière, orientée par la normale unitaire extérieure n, et si le champ F est continûment différentiable sur un voisinage de la fermeture de Ω, alors :
L’intégrale de gauche additionne les bilans locaux dans le volume. Celle de droite additionne la composante sortante du champ sur toute la surface fermée.
Quand l'utiliser
Dans sa forme classique, le théorème s’applique à un domaine borné Ω dont la frontière fermée est régulière par morceaux. La normale n doit être choisie vers l’extérieur sur chaque morceau. Le champ F doit être défini et continûment différentiable sur un voisinage de la fermeture de Ω ; sa divergence et son flux sont alors intégrables.
Une surface ouverte ne délimite pas à elle seule un volume : le membre volumique correspondant n’est donc pas déterminé. Il faut fermer la surface en ajoutant les morceaux manquants, puis tenir compte de leur flux, ou calculer directement l’intégrale de surface. De même, une singularité du champ à l’intérieur du domaine interdit l’application classique sans traitement préalable de cette singularité.
Un exemple, pas à pas
Prenons la boule unité Ω de centre O dans ℝ3 et le champ radial F défini au point de coordonnées (x, y, z) par F(x, y, z) = (x, y, z). Sa frontière ∂Ω est la sphère de rayon 1, orientée vers l’extérieur. Le schéma représente ce champ radial et la normale sortante utilisés dans les deux calculs.
1. La divergence est la somme des trois dérivées partielles diagonales :
2. Le volume de la boule unité vaut . L’intégrale volumique vaut donc :
3. Sur la sphère unité, le vecteur position F coïncide avec la normale unitaire extérieure n. Leur produit scalaire vaut donc 1 en tout point.
4. L’aire de la sphère unité vaut 4π, donc son flux sortant vaut . Les deux calculs donnent exactement 4π, ce qui contrôle l’égalité annoncée par le théorème.
En pratique
En mécanique des fluides, on peut remplacer le flux total à travers une surface fermée par l’intégrale de la divergence dans le volume. Le choix le plus simple dépend des données disponibles : valeurs sur la frontière ou description locale dans le volume.
En électromagnétisme, la même conversion relie un flux à travers une surface fermée aux sources présentes à l’intérieur. Si la surface observée est ouverte, il faut d’abord la compléter ou conserver un calcul direct de flux.
Pour contrôler un calcul, on évalue les deux membres par des voies indépendantes. Un signe opposé indique souvent que la normale a été orientée vers l’intérieur ; un résultat différent invite aussi à rechercher une singularité ou un morceau de frontière oublié.
À ne pas confondre
Le théorème de Stokes classique relie la circulation d’un champ le long du bord d’une surface au flux de son rotationnel à travers cette surface. Green-Ostrogradski traite au contraire le flux à travers une surface fermée et la divergence dans le volume qu’elle enferme.
La divergence d’une suite numérique signifie que la suite n’admet pas de limite finie. Elle ne se calcule pas comme la divergence d’un champ de vecteurs. La présence d’indices entiers plutôt que de variables spatiales tranche immédiatement entre les deux sens.
Limites et pièges
Orientation inversée. Avec une normale dirigée vers l’intérieur, le flux change de signe. L’égalité standard emploie la normale extérieure ; sinon, il faut placer un signe moins devant l’intégrale de surface.
Frontière en plusieurs morceaux. Une cavité intérieure fait aussi partie de ∂Ω. Sa normale extérieure au domaine pointe vers la cavité, et non vers le matériau. Oublier ce morceau ou l’orienter à l’envers fausse le flux total.
Singularité dans le volume. Si F n’est pas défini ou dérivable en un point intérieur, les hypothèses classiques échouent. On peut retirer une petite boule autour de ce point, appliquer le théorème au domaine privé de la boule, puis étudier séparément la limite du flux ajouté.
Domaine non borné. Le théorème classique porte sur un domaine borné. Pour un domaine infini, on travaille d’abord sur des domaines bornés croissants, puis on justifie le passage à la limite ; la décroissance du champ ne doit jamais être supposée sans vérification.
Pour aller plus loin
La fiche champ de vecteurs précise comment un vecteur varie d’un point à l’autre, support commun à la divergence et au flux.
La fiche Vecteur normal orienté approfondit le choix du sens normal, dont dépend le signe du flux à travers la frontière.
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