AnalyseFormule · Glossaire
formule de Green-Riemann
Pour une région plane compacte K à bord C¹ par morceaux admissible, dont toutes les composantes du bord sont orientées positivement, et pour une forme différentielle P dx + Q dy de classe C¹ sur un ouvert contenant K, la formule de Green-Riemann identifie l’intégrale de cette forme le long du bord à l’intégrale sur K de sa rotation locale. Elle convertit ainsi une mesure sur le contour en information sur toute la région, notamment pour calculer une aire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier exactement l’intégrale sur la frontière à l’intégrale double sur le domaine.
- Vérifier les hypothèses de régularité et l’orientation positive.
- Refaire le calcul de l’aire du disque unité et contrôler le résultat π.
- Traiter correctement un domaine troué ou une singularité.
En clair
Imaginez un promeneur qui fait le tour d’un terrain en gardant toujours celui-ci à sa gauche. La formule de Green-Riemann relie ce qui s’accumule pendant ce tour à ce qui se passe en chaque point de toute la surface intérieure.
Ainsi, une information mesurée seulement sur le contour peut donner une information sur l’aire entière. Le sens du parcours est décisif : inverser le tour change le signe du calcul sur le bord.
Définition
La formule de Green-Riemann est un théorème d’analyse dans le plan. Elle convertit l’intégrale curviligne d’une forme différentielle le long d’un bord en l’intégrale double d’une dérivée sur le domaine entouré. On note K la région plane compacte et ∂K+ sa frontière orientée positivement, de sorte que K reste à gauche pendant le parcours.
La forme différentielle s’écrit ω = P dx + Q dy, où P et Q sont deux fonctions réelles des coordonnées x et y. Si le bord est une réunion finie de courbes de classe C¹ et si P et Q sont de classe C¹ sur un ouvert contenant K, alors l’intégrale sur le bord est gouvernée par la différence entre la dérivée de Q selon x et celle de P selon y. Cette différence mesure la rotation locale associée à la forme.
Le résultat est le cas plan du théorème de Stokes généralisé. Des choix particuliers de P et Q transforment aussi l’intégrale de bord en aire. Enfin, sur un domaine sans trou adapté, l’annulation de la rotation locale intervient dans le critère d’exactitude de la forme ; la seule annulation locale ne suffit pas sur tout domaine troué.
Le principe
Si K est une région plane compacte à bord C¹ par morceaux admissible, dont les arcs ne se coupent qu’à leurs extrémités et dont les composantes de la frontière ∂K sont orientées positivement, et si P et Q sont de classe C¹ sur un ouvert contenant K, alors :
Le membre de gauche additionne la forme le long du contour. Le membre de droite additionne sur K sa rotation locale, c’est-à-dire ∂Q/∂x − ∂P/∂y. Parcourir toute la frontière dans le sens opposé change le signe du membre de gauche.
Quand l'utiliser
La formule s’applique à une région plane suffisamment régulière : son bord doit être formé d’un nombre fini de courbes de classe C¹. Chaque composante du bord est orientée pour que le domaine reste à gauche ; autour d’un trou, cela impose donc un parcours horaire.
Les fonctions P et Q, ainsi que leurs dérivées partielles premières, doivent être continues sur un ouvert contenant tout K. Cette exigence inclut l’intérieur, le bord et les éventuels trous comblés seulement si ceux-ci appartiennent au domaine d’intégration.
Contre-cas concret : la forme ω = −y/(x2 + y2) dx + x/(x2 + y2) dy n’est pas définie à l’origine. On ne peut pas appliquer Green-Riemann au disque qui contient ce point. Il faut retirer un petit disque centré sur la singularité, travailler sur l’anneau obtenu et prendre en compte ses deux composantes de bord.
Un exemple, pas à pas
On cherche l’aire du disque unité K, centré à l’origine. Son bord est le cercle parcouru dans le sens trigonométrique. On choisit P(x, y) = −y/2 et Q(x, y) = x/2.
1. La dérivée de Q selon x vaut 1/2, tandis que la dérivée de P selon y vaut −1/2. Leur différence vaut donc 1.
2. Le cercle est paramétré par x = cos(t) et y = sin(t), avec t allant de 0 à 2π. On a alors dx = −sin(t) dt et dy = cos(t) dt.
3. Sur le bord, la forme devient :
4. L’intégrale de bord vaut donc ∫02π 1/2 dt = π. Par Green-Riemann, elle est égale à ∬K 1 dx dy, qui est précisément l’aire de K. Le résultat est π unités carrées. Le contrôle direct par la formule πr2, avec r = 1, donne aussi π.
En pratique
Pour calculer une aire, on choisit P et Q de sorte que ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1. L’intégrale sur le contour remplace alors l’intégrale double. Ce choix est avantageux lorsque le bord se paramètre plus simplement que l’intérieur.
Pour évaluer une circulation, on compare les deux calculs possibles. Si la rotation locale s’intègre facilement sur K, Green-Riemann évite de traiter séparément chaque morceau du bord ; si le domaine est compliqué mais son contour simple, l’intégrale curviligne peut rester préférable.
Pour tester si une forme peut être exacte, l’égalité ∂Q/∂x = ∂P/∂y est un premier signal. Elle devient un critère suffisant sur un ouvert simplement connexe avec la régularité requise ; en présence d’un trou, il faut aussi contrôler les intégrales autour de celui-ci.
À ne pas confondre
Avec le théorème de Green-Ostrogradski. Celui-ci relie, dans l’espace, le flux d’un champ à travers une surface fermée à l’intégrale de sa divergence dans un volume. Green-Riemann travaille dans le plan avec un contour et une aire.
Avec le théorème fondamental des intégrales curvilignes. Pour une forme exacte, l’intégrale entre deux points dépend seulement des extrémités et vaut zéro sur tout contour fermé. Green-Riemann traite plus généralement une forme dont la rotation locale peut être non nulle.
Avec le théorème de Stokes généralisé. Green-Riemann n’est pas un résultat concurrent : c’est sa version pour une région orientée du plan et une forme différentielle de degré 1.
Limites et pièges
Domaine avec un trou. La frontière ne se réduit pas au contour extérieur. Le contour extérieur se parcourt dans le sens trigonométrique et chaque contour intérieur dans le sens horaire, afin que le domaine reste toujours à gauche.
Singularité dans la région. Si P ou Q n’est pas de classe C¹ en un point de K, une rotation locale apparemment nulle ailleurs ne justifie pas la formule sur K. Il faut isoler le point par un trou ou employer un autre argument.
Orientation inversée. Un parcours horaire du seul contour extérieur donne l’opposé de la valeur attendue. Dans l’exemple du disque unité, le résultat serait −π au lieu de π. Il faut inverser le paramétrage ou placer un signe moins.
Contour non admissible. Une courbe auto-intersectée ne borde pas une unique région simple avec la convention usuelle. Il faut la décomposer en lacets orientés et tenir compte de leurs multiplicités, ou appliquer une version plus générale adaptée.
Pour aller plus loin
Intégrale curviligne — Pour approfondir le calcul effectué le long d’une courbe paramétrée, qui constitue le membre de bord de Green-Riemann.
Aires et primitives, une liaison intime — Pour replacer le calcul d’aire par intégration dans le cadre plus familier des primitives.
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