GéométrieFormule · Glossaire
formule d'Ostrogradski
La formule d'Ostrogradski, également connue sous le nom de formule de la divergence ou théorème de Gauss-Ostrogradski, est un résultat fondamental de l'analyse vectorielle. Elle relie l'intégrale de volume de la divergence d'un champ vectoriel u sur un domaine borné D à l'intégrale de surface du flux de u à travers la frontière fermée S de ce domaine : ∭_D div(u) dxdydz = ∬_S u · n dσ, où n désigne le vecteur normal unitaire extérieur à S et dσ l'élément d'aire. Cette formule est l'extension à trois dimensions du théorème de Green dans le plan, lui-même généralisation bidimensionnelle du théorème fondamental de l'analyse. Elle est indispensable en physique mathématique, notamment en électromagnétisme et en mécanique des fluides, pour relier des propriétés locales (divergence) à des propriétés globales (flux à travers une surface).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la divergence comme un bilan local et le flux comme un bilan de frontière.
- Identifier les hypothèses de régularité, de fermeture et d’orientation.
- Refaire les deux calculs sur un cube et obtenir 3 m³/s de chaque côté.
- Reconnaître les surfaces ouvertes, singularités et orientations qui empêchent une application directe.
En clair
Imaginez de l’air qui circule dans une boîte fermée. On peut mesurer ce qui traverse chaque face, puis additionner tous les débits sortants. On peut aussi examiner chaque petit volume intérieur et mesurer si l’air s’y disperse davantage qu’il ne s’y rassemble.
La formule d’Ostrogradski affirme que ces deux bilans coïncident. Le flux total à travers l’enveloppe dépend exactement de la divergence accumulée dans le volume. Elle transforme ainsi un calcul effectué partout à l’intérieur en un calcul sur la frontière, ou inversement.
Définition
La formule d’Ostrogradski, ou théorème de la divergence, concerne un champ vectoriel suffisamment régulier défini sur un domaine de l’espace. Le domaine borné est noté D, sa frontière fermée est notée S et le vecteur normal unitaire dirigé vers l’extérieur est noté n. La divergence du champ u mesure localement son caractère sortant.
Lorsque u est continûment dérivable et que la frontière est assez régulière, on note dV l’élément de volume et dσ l’élément d’aire. Le théorème s’écrit :
Le membre de gauche additionne la divergence dans tout le volume. Le membre de droite additionne sur S la composante normale de u. Le produit u · n compte positivement ce qui sort et négativement ce qui entre. Aussi nommé théorème de Gauss-Ostrogradski, ce résultat prolonge en trois dimensions le théorème de Green du plan. Il relie notamment des descriptions locales et globales en électromagnétisme et en mécanique des fluides.
Le principe
Soit D un domaine borné de l’espace dont la frontière fermée S est suffisamment régulière. Soit u un champ vectoriel continûment dérivable sur un voisinage de D. On oriente S par son vecteur normal unitaire extérieur n. L’élément de volume est noté dV et l’élément d’aire dσ. Alors :
Le calcul fournit le flux algébrique total sortant à travers S. Une valeur positive traduit un bilan sortant ; une valeur négative, un bilan entrant.
Quand l'utiliser
L’application classique exige trois points vérifiables. Le domaine D est borné et possède une frontière fermée, orientable et suffisamment régulière. Le champ u est défini et continûment dérivable sur un voisinage du domaine. La normale n est choisie vers l’extérieur ; l’orientation opposée changerait le signe du flux.
Une surface ouverte, comme une seule face d’un cube, ne borde pas à elle seule un volume : la formule ne s’y applique pas directement. Il faut fermer la surface en ajoutant les faces manquantes, puis retrancher leurs flux, ou calculer l’intégrale de surface initiale. Si le champ possède une singularité dans D, on ne peut pas invoquer la version classique sans traiter ce point, par exemple en retirant un petit voisinage et en ajoutant sa frontière au bilan.
Un exemple, pas à pas
On étudie un écoulement dans un cube fermé de côté 1 m.
Données. Les coordonnées x, y et z, exprimées en mètres, repèrent le domaine D défini par .
Le coefficient α vaut 1 s−1. Le champ de vitesse u est .
Données. Les coordonnées x, y et z, exprimées en mètres, repèrent le domaine D défini par .
Le coefficient α vaut 1 s−1. Le champ de vitesse u est .
Étape 1. Additionnez les trois dérivées des composantes du champ : . La divergence est constante dans le cube.
Étape 2. Le volume du cube vaut 1 m3. L’intégrale de volume vaut donc .
Étape 3. Sur la face x = 1 m, la composante normale sortante vaut 1 m/s et l’aire vaut 1 m2 : son flux vaut 1 m3/s. Sur la face opposée x = 0, le champ normal est nul. Les deux paires de faces associées à y et à z donnent chacune le même bilan.
Étape 4. Additionnez les six faces : . Dans cette géométrie, les trois faces de flux non nul sont les faces positives ; les faces opposées ont un flux nul.
Le flux sortant total vaut 3 m3/s. Pour contrôler le résultat, comparez-le à l’intégrale de volume obtenue à l’étape 2 : les deux calculs donnent bien 3 m3/s.
En pratique
En mécanique des fluides, on peut additionner la divergence dans une cuve fermée pour obtenir le débit net à travers toute son enveloppe. Si seule une ouverture précise intéresse l’étude, une intégrale directe sur cette ouverture est préférable.
En électromagnétisme, le théorème relie une loi locale exprimée par une divergence au flux d’un champ à travers une surface fermée. Lorsque la géométrie rend le flux simple sur cette surface, la forme globale facilite le calcul ; sans cette symétrie, la forme locale ou un calcul numérique peut être plus commode.
Dans un calcul discrétisé, comparer le flux de frontière à la somme des divergences intérieures fournit un contrôle de conservation. Un écart notable signale alors un maillage trop grossier, une orientation incohérente ou une erreur de calcul.
À ne pas confondre
Avec le théorème de Green dans le plan. Green relie une intégrale double sur une région plane à une intégrale le long de son contour. Ostrogradski traite un volume tridimensionnel et le flux à travers sa surface fermée. Un domaine dans le plan relève du premier ; un volume de l’espace, du second.
Avec le théorème de Stokes. Stokes relie le rotationnel sur une surface à la circulation le long du bord de cette surface. Ostrogradski relie la divergence dans un volume au flux à travers sa frontière. Une question de circulation autour d’un contour appelle Stokes ; un bilan entrant-sortant sur une enveloppe appelle Ostrogradski.
Limites et pièges
Surface incomplète. Dès qu’une face du cube manque, la surface ne délimite plus à elle seule le volume. Le symptôme est l’impossibilité d’identifier un intérieur fermé. Il faut compléter la frontière et corriger le flux, ou intégrer directement sur la surface ouverte.
Orientation inversée. Une normale dirigée vers l’intérieur change tous les signes. Le calcul peut avoir la bonne valeur absolue mais le signe opposé. Il faut annoncer l’orientation et, pour la formule standard, choisir la normale extérieure.
Singularité intérieure. Si le champ n’est pas défini ou n’est pas continûment dérivable en un point de D, les hypothèses classiques échouent. Il faut isoler la singularité, travailler sur le domaine privé d’un voisinage de ce point et comptabiliser la nouvelle frontière, ou employer une formulation généralisée adaptée.
Domaine non borné. La version énoncée ne justifie pas directement un passage à une frontière située à l’infini. Il faut d’abord appliquer le théorème sur des domaines bornés, puis démontrer séparément que les intégrales convergent lorsque ces domaines grandissent.
Pour aller plus loin
Pour approfondir la formule d'Ostrogradski, on peut comparer sa version tridimensionnelle au théorème de Green dans le plan et suivre le même principe : une quantité calculée dans un domaine se relie à un flux mesuré sur sa frontière.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres