formule de Gauss

Écrivons les entiers de 1 à 100. Le premier et le dernier font 101, comme le deuxième et l'avant-dernier. Les cent nombres forment ainsi 50 paires de même somme : leur total vaut 50 × 101, soit 5 050. Cette astuce est la formule du petit Gauss.

Le nom « formule de Gauss » ne désigne pourtant pas une formule unique. Il sert aussi pour un calcul de la date de Pâques, une intégration approchée, une relation entre un volume et sa frontière, et une loi d'électromagnétisme.

L'expression formule de Gauss rassemble plusieurs résultats attribués à Carl Friedrich Gauss. En arithmétique, si n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1, la somme S_n des entiers de 1 à n est donnée par $S_n=\frac{n(n+1)}{2}S\_n=\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}$. On l'appelle aussi formule du petit Gauss.

Pour une année m du calendrier grégorien, l'algorithme de Gauss calcule des restes successifs a, b, c, d et e. Deux paramètres entiers, p et q, dépendent du siècle ; pour 2000–2099, ils valent respectivement 24 et 5. Le résultat donne une date en mars ou en avril, après une éventuelle correction exceptionnelle : dans cette période, le 25 avril 2049 est corrigé au 18 avril et le 26 avril 2076 au 19 avril.

Comme repère comparatif, chaque emploi technique se reconnaît ici à son objet et au résultat recherché. En analyse numérique, une quadrature de Gauss approche l'intégrale d'une fonction continue g sur l'intervalle de −1 à 1 par une somme pondérée. Ses nœuds t_i et ses poids w_i maximisent le degré d'exactitude polynomiale. En analyse tensorielle, pour un domaine borné de ℝ³ à frontière de classe C¹ par morceaux et un champ tensoriel T_jk de classe C¹ sur l'adhérence du domaine, une autre formule relie l'intégrale volumique d'une dérivée partielle de ce champ à une intégrale sur la frontière du domaine ; n_i est la composante de la normale extérieure. Pour un champ vectoriel, elle fournit la formule d'Ostrogradski, ou théorème de la divergence. En électromagnétisme, la loi de Gauss relie le flux électrique traversant une surface fermée à la charge qu'elle contient.

Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et si S_n est la somme des entiers de 1 à n, alors :

Pour une quadrature de Gauss-Legendre à n nœuds sur l'intervalle [−1, 1], t_i désigne le i^e nœud, w_i son poids et g une fonction continue : ${\int }_{-1}^{1}g(t)dt\approx {\sum }_{i=1}^n{w}_{i}g(t_i)\backslash int\_\{-1\}^\{1\}g(t)\backslash ,dt\backslash approx\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}w\_i\; g(t\_i)$. Son degré d'exactitude est 2n − 1 : elle est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à cette valeur.

Pour un entier n ≥ 1, la formule S_n = n(n + 1)/2 vaut pour la suite complète des entiers de 1 à n, chaque terme étant compté une fois. Si la liste commence après 1 ou comporte des trous, il faut la décomposer en sommes d'entiers consécutifs.

Le calcul de Pâques exige une année m du calendrier grégorien et les paramètres p et q du siècle concerné. Les valeurs 24 et 5 ne valent que pour 2000–2099. Pour un autre siècle, il faut changer ces paramètres. Ils ne suffisent toutefois pas à eux seuls : une correction exceptionnelle peut être nécessaire ; pour 2000–2099, elle concerne 2049, corrigée du 25 au 18 avril, et 2076, corrigée du 26 au 19 avril.

La quadrature donnée porte sur l'intervalle de −1 à 1 et fournit une approximation par des nœuds et des poids choisis. La formule tensorielle suppose un domaine borné ω de ℝ³ dont la frontière ∂ω est de classe C¹ par morceaux, une normale extérieure et un champ tensoriel de classe C¹ sur l'adhérence de ω. En électromagnétisme, la surface doit être fermée pour relier le flux à la charge contenue.

On cherche la somme de tous les entiers de 1 à 100. Les données sont le premier entier, 1, le dernier, 100, et le nombre de termes, n = 100. Le regroupement par extrémités rend le calcul contrôlable visuellement.

1. Additionner les deux extrémités : 1 + 100 = 101. La paire suivante donne aussi 2 + 99 = 101.

2. Regrouper les 100 termes deux par deux. Il y a 100/2 = 50 paires, toutes de somme 101.

3. Multiplier le nombre de paires par leur somme : 50 × 101 = 5 050. La somme cherchée vaut donc 5 050.

4. Contrôler avec la formule : $\frac{100\times (100+1)}{2}=50\times 101=5050\backslash frac\{100\backslash times(100+1)\}\{2\}=50\backslash times101=5050$. Le calcul par la formule et le comptage des paires coïncident.

Pour totaliser les entiers de 1 à une borne n, la formule du petit Gauss remplace l'addition terme à terme. Si la suite comporte des trous, il faut au contraire traiter les termes manquants.

Pour refaire l'algorithme sur 2049, on part de m = 2049 et des paramètres p = 24 et q = 5 valables pour 2000–2099. On calcule successivement a, reste de m/19, soit 16 ; b, reste de m/4, soit 1 ; c, reste de m/7, soit 5 ; d, reste de (19a + p)/30, soit 28 ; puis e, reste de (2b + 4c + 6d + q)/7, soit 6. Comme d + e = 34 est supérieur ou égal à 10, on choisit la branche d'avril : la date obtenue avant correction est le 25 avril. On contrôle enfin l'exception : le 25 avril 2049 est corrigé au 18 avril.

Pour approcher une intégrale sur −1 à 1, une quadrature de Gauss évalue la fonction seulement aux nœuds prescrits et combine ces valeurs avec leurs poids. Une valeur exacte connue rend l'approximation inutile.

Pour passer d'une information répartie dans un volume à une information portée par sa frontière, la formule tensorielle relie les deux intégrales. En électromagnétisme, une surface fermée est le support du bilan entre flux électrique et charge contenue.

Formule du petit Gauss et quadrature de Gauss. La première donne exactement la somme des entiers de 1 à n ; la seconde approche une intégrale à l'aide de nœuds et de poids. Une somme 1 + 2 + … + 100 relève de la première, pas de la quadrature.

Formule d'Ostrogradski et loi de Gauss en électromagnétisme. La première est la restriction vectorielle de la formule tensorielle reliant volume et frontière. La seconde se reconnaît au flux du champ électrique à travers une surface fermée, relié à la charge enfermée ; dans le vide, ce flux vaut Q_enc/ε₀.

Un nom ambigu. « Formule de Gauss » ne suffit pas à identifier un calcul. Le symptôme est l'absence d'objet précis — somme, date, intégrale, champ tensoriel ou flux électrique. Il faut nommer la variante avant d'appliquer une écriture.

La borne de la somme compte. Pour n = 1, la formule donne bien 1 × 2/2 = 1. En revanche, elle ne totalise directement ni une suite trouée ni une liste commençant après 1 ; il faut décomposer le calcul.

Les paramètres de Pâques changent avec le siècle et des exceptions subsistent. Employer p = 24 et q = 5 hors de la période 2000–2099 est un signal d'erreur. Il faut utiliser les paramètres du siècle de l'année étudiée, puis appliquer la correction exceptionnelle éventuelle ; entre 2000 et 2099, le 25 avril 2049 devient le 18 avril et le 26 avril 2076 devient le 19 avril.

Une quadrature reste une approximation. Le signe ≈ ne doit pas être lu comme une égalité générale. L'exactitude dépend du choix des nœuds et des poids, conçu pour maximiser le degré polynomial exact ; il faut conserver la distinction entre valeur approchée et valeur exacte.

Gauss Carl — Situer le mathématicien auquel ces résultats doivent leur nom.