AnalyseFormule · Glossaire
formule de Stokes
Imaginez un domaine orienté, comme un carré dont on parcourt le contour dans un sens fixé. La formule de Stokes affirme que la variation totale mesurée à l’intérieur se retrouve sur le bord : l’intégrale de la dérivée extérieure d’une forme sur le domaine est égale à l’intégrale de cette forme sur son bord orienté. L’énoncé général précise ensuite les objets, les notations et les conditions qui rendent cette égalité valable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la formule comme un passage du domaine orienté à son bord.
- Identifier le rôle de M, de son bord, de ω, de dω et de l’inclusion i.
- Vérifier l’égalité sur le carré unité avec la forme ω = x dy.
- Contrôler le degré, la régularité, le support compact et l’orientation avant l’application.
- Relier le cadre général aux théorèmes de Green et de la divergence.
En clair
Imaginez un carré entouré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On peut mesurer un effet sur toute sa surface, ou suivre seulement son contour. La formule de Stokes affirme que ces deux calculs concordent lorsque l’effet intérieur est la variation, appelée dérivée extérieure, de ce que l’on mesure sur le bord.
Le principe survit en toute dimension : l’intégrale d’une variation sur un domaine se retrouve sur la frontière orientée de ce domaine. Le sens de parcours est décisif, car l’inverser change le signe du résultat.
Définition
La formule de Stokes est un théorème intégral sur une variété différentielle orientée, c’est-à-dire un espace où le calcul différentiel et un choix cohérent d’orientation sont possibles. On note M la variété de dimension n et ∂M son bord, muni de l’orientation induite par celle de M. L’application i inclut chaque point du bord dans M.
On choisit une forme différentielle ω de degré n−1, de classe C¹ et à support compact. La forme dω, appelée dérivée extérieure de ω, est alors de degré n et peut être intégrée sur M. La forme i*ω est la restriction de ω au bord, écrite rigoureusement comme son image réciproque par i. La relation est .
Dans le plan, cette relation contient le théorème de Green. Dans l’espace, une traduction adaptée redonne notamment le théorème de la divergence. La formule générale n’efface donc pas ces résultats classiques : elle révèle leur structure commune, une intégrale sur un domaine égale à une intégrale sur son bord.
Le principe
Si M est une variété orientée de dimension n, si son bord ∂M reçoit l’orientation induite, et si ω est une (n−1)-forme de classe C¹ à support compact sur M, alors
Ici, dω mesure la dérivée extérieure dans M et i*ω est la forme reportée sur le bord par l’inclusion i.
Quand l'utiliser
Trois vérifications précèdent l’application. Le domaine M doit porter une orientation cohérente ; son bord utilise alors l’orientation induite. La forme ω doit avoir exactement le degré n−1 si M est de dimension n. Enfin, sa régularité C¹ rend dω définie, et son support compact assure le cadre d’intégration annoncé.
Si l’on parcourt le bord dans le sens opposé, la formule ne donne pas le même membre droit : son signe est inversé. Si ω n’est pas de classe C¹, sa dérivée extérieure classique peut manquer ; il faut alors vérifier une version plus générale du théorème au lieu d’appliquer mécaniquement cet énoncé.
Un exemple, pas à pas
Dans le cadre des régions à bord par morceaux lisse, prenons le carré unité M = [0,1] × [0,1], orienté par dx ∧ dy, et la 1-forme ω = x dy. Son bord est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Les données sont donc x compris entre 0 et 1, y compris entre 0 et 1, et quatre côtés orientés. Le contour orienté permet de voir quel côté contribue au calcul.
1. La dérivée extérieure de ω vaut .
2. Sur le carré, son intégrale vaut , car l’aire du carré unité est 1.
3. Sur les côtés horizontaux, dy = 0. Sur le côté gauche, x = 0. Seul le côté droit reste : x = 1 et y va de 0 à 1, donc .
Les deux membres valent donc 1. Pour contrôler le signe, inversez le parcours du contour : l’intégrale de bord devient −1, ce qui confirme que l’orientation induite fait partie des données indispensables.
En pratique
Dans le plan, le théorème de Green permet de remplacer une intégrale double sur une région par une intégrale le long de son contour. On choisit cette voie lorsque le bord est plus simple à paramétrer que l’intérieur ; si la région est simple et le contour compliqué, le calcul intérieur peut rester préférable.
Dans l’espace, le théorème de la divergence relie une intégrale de volume à un flux sur la surface fermée qui borde ce volume. Le choix pratique dépend encore des données : une symétrie du bord favorise le flux, tandis qu’une divergence simple favorise l’intégrale de volume.
Dans le langage des formes différentielles, la formule unique évite de mémoriser séparément chaque théorème intégral. Le geste reste le même : identifier le domaine, orienter son bord, calculer dω, puis comparer le côté du calcul qui demande le moins de travail.
À ne pas confondre
La loi de Stokes. Elle appartient à la mécanique des fluides et décrit la force de traînée sur une petite sphère se déplaçant lentement dans un fluide visqueux, en régime de Stokes à faible nombre de Reynolds. Une force ne relève donc de cette loi que sous ces hypothèses de modélisation, tandis qu’une égalité entre intégrales sur un domaine et son bord relève de la formule de Stokes.
Le théorème de la divergence. Ce n’est pas un synonyme de la formule générale, mais l’une de ses traductions classiques dans l’espace. Si le calcul porte sur le flux d’un champ à travers une surface fermée, la version divergence est naturelle ; les formes différentielles donnent le cadre unificateur.
Limites et pièges
Orientation oubliée. Une intégrale de bord égale à l’opposé de l’intégrale intérieure signale souvent un contour parcouru à l’envers. Il faut reconstruire l’orientation induite par M avant de reprendre le calcul.
Bord vide. Lorsque ∂M est vide, le membre de bord vaut 0 ; la formule impose alors que l’intégrale de dω sur M soit nulle. Il ne faut pas inventer un contour absent.
Support non compact. Sur une variété non compacte, retirer l’hypothèse de support compact peut rendre une intégrale divergente ou demander des conditions supplémentaires. Il faut vérifier la convergence avant d’utiliser une extension de la formule.
Degré incorrect. Une forme de degré autre que n−1 ne produit pas, après dérivation extérieure, une n-forme intégrable sur M dans cet énoncé. Il faut d’abord ajuster le cadre ou choisir la forme correspondant à la dimension.
Pour aller plus loin
Jeu de piste avec la formule de Stokes — Prolonger la découverte de la formule par un parcours entièrement consacré à ses idées et à ses usages.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres