GéométrieObjet mathématique · Glossaire
Vecteur normal orienté
Un vecteur normal orienté à une surface ou à une courbe plane est un vecteur perpendiculaire à l'objet géométrique, auquel on a attribué un sens. Pour une surface régulière, le vecteur normal est orthogonal au plan tangent en chaque point. L'orientation d'une surface consiste à choisir de manière continue un vecteur normal unitaire en chaque point. Pour une courbe plane, le vecteur normal orienté est obtenu par rotation de 90 degrés du vecteur tangent.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier ce que l'orientation ajoute à une direction normale.
- Construire et normaliser un produit vectoriel sur une surface paramétrée.
- Repérer les points singuliers et l'obstacle à une orientation globale.
- Relier la normale orientée au repère de Darboux.
En clair
Imaginez une petite flèche plantée bien droite sur une surface, comme un poil sur une peau lisse. Elle est perpendiculaire au plan qui effleure la surface au point choisi.
Deux sens opposés sont possibles. Orienter la normale revient à en choisir un, puis à conserver ce choix sans retournement brusque quand le point se déplace. Sur une courbe plane, le même geste correspond à tourner la direction tangente d'un quart de tour, dans un sens fixé.
Définition
En un point régulier d'une surface de l'espace, un vecteur normal est un vecteur non nul orthogonal à toutes les directions du plan tangent. Si la surface est paramétrée par un vecteur position , les deux vecteurs dérivés par rapport aux paramètres doivent être indépendants. Leur produit vectoriel fournit alors une normale. Le vecteur normal unitaire orienté s'écrit :
Inverser l'ordre des paramètres remplace cette normale par son opposée. Une orientation de la surface est un choix continu entre ces deux sens en chaque point ; un tel choix global n'existe que pour une surface orientable. Pour une courbe plane régulière, un vecteur tangent unitaire admet deux normales unitaires opposées. Le choix d'une rotation de +90° ou de −90°, selon l'orientation retenue du plan, fixe la normale orientée.
De quoi c'est fait
La construction réunit quatre éléments. Le point régulier fixe le lieu étudié. Le plan tangent rassemble les directions qui effleurent la surface. La droite normale, perpendiculaire à ce plan, donne une direction mais pas encore un sens. Enfin, une flèche unitaire choisie sur cette droite donne à la fois le sens et une longueur égale à 1.
Le plan tangent détermine donc la droite normale, tandis que l'orientation sélectionne l'une des deux flèches unitaires opposées. Multiplier la flèche par un nombre positif change sa longueur sans changer son orientation ; la multiplier par un nombre négatif inverse son sens.
La perpendicularité définit le caractère normal. Le choix continu du sens définit l'orientation ; la couleur, l'échelle ou le dessin de la flèche n'en font pas partie. Pour construire un repère de Darboux le long d'une courbe régulière tracée sur la surface, il faut en plus choisir la tangente unitaire orientée de la courbe, puis former avec elle et la normale de la surface le troisième vecteur unitaire tangent à la surface.
Un exemple, pas à pas
Considérons la surface paramétrée par , le point obtenu pour u = 1 et v = 0, et l'orientation dont la composante verticale est positive. Le point est P = (1, 0, 1). La coupe verticale y = 0 rend visibles la tangente et la normale utilisées dans le calcul.
1. Les dérivées par rapport aux deux paramètres valent et . Au point P, elles deviennent (1, 0, 2) et (0, 1, 0).
2. Leur produit vectoriel, pris dans cet ordre, est (−2, 0, 1). Sa composante verticale vaut 1 : il respecte donc le sens choisi.
3. Sa norme est . La normale unitaire orientée est ainsi .
4. Le contrôle consiste à calculer les deux produits scalaires : et . La normale est bien orthogonale au plan tangent.
En pratique
Pour orienter une surface donnée par une équation, on calcule d'abord une normale locale, puis on choisit un signe par un critère observable : composante verticale positive, direction vers l'extérieur ou côté imposé par le problème. Si ce critère cesse d'être vérifiable, il faut employer un autre critère local et choisir les signes de façon compatible sur les recouvrements afin de conserver la continuité du sens.
Dans un calcul de flux, la flèche normale indique le côté traversé positivement. Pour une surface fermée, la convention vers l'extérieur est fréquente ; une orientation vers l'intérieur reste possible, mais elle change le signe du flux.
Le long d'une courbe tracée sur une surface orientée, la normale de la surface complète la tangente de la courbe pour former le repère de Darboux. Ce repère est préféré au repère de Frenet lorsque l'on veut séparer ce qui vient de la courbe de ce qui vient de la surface.
À ne pas confondre
Vecteur normal et droite normale. Le vecteur possède une longueur et un sens ; la droite ne possède ni l'un ni l'autre. Au même point, deux vecteurs normaux opposés sont différents, mais ils dirigent la même droite normale.
Normale à la surface et normale principale d'une courbe. La première est perpendiculaire au plan tangent de la surface. Lorsque la courbure est non nulle, la seconde appartient au plan osculateur de la courbe et pointe vers sa courbure ; elle n'est pas définie aux points où la courbure est nulle. Pour une courbe tracée sur une surface, ces deux directions ne coïncident pas en général.
Orientation de la surface et sens de parcours d'une courbe. La première choisit un côté normal ; le second choisit une direction tangente. Inverser le parcours d'un contour ne renverse donc pas automatiquement la normale choisie à la surface.
Limites et pièges
Point singulier. Si les deux dérivées du paramétrage deviennent dépendantes, leur produit vectoriel est nul. La division par sa norme est alors impossible : il faut chercher un autre paramétrage régulier ou reconnaître que la surface n'a pas de plan tangent régulier en ce point.
Choix local sans orientation globale. Une normale existe autour de chaque point régulier, mais certaines surfaces ne permettent pas de choisir son sens continûment partout. Si la flèche revient inversée après un parcours fermé, il ne faut pas imposer une normale globale ; on travaille par voisinages orientés.
Surface non connexe. La continuité ne relie pas deux composantes séparées. Chacune peut donc recevoir son orientation indépendamment ; parler des « deux orientations » de toute la surface n'est exact que lorsque la surface orientable est connexe.
Quart de tour non précisé. Dans le plan, +90° et −90° donnent des normales opposées. Une formule qui omet l'orientation du plan ou le sens de rotation ne détermine pas une normale orientée unique ; il faut annoncer la convention choisie.
Pour aller plus loin
Le plan tangent précise l'espace auquel la normale doit être orthogonale. Sa construction éclaire directement le rôle du point régulier et des directions tangentes.
La courbure géodésique mesure, dans le plan tangent, la part de courbure d'une courbe tracée sur la surface. Avec la normale orientée, elle intervient dans la décomposition portée par le repère de Darboux.
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