AnalyseFormule · Glossaire
formule de Frenet
Les formules de Frenet décrivent la variation des vecteurs du repère mobile attaché à une courbe régulière de l'espace. Soit un arc régulier de classe C³, paramétré par son abscisse curviligne s, sur une portion où la courbure κ est strictement positive, et soit T(s) le vecteur tangent unitaire et N(s) le vecteur normal principal unitaire en un point M(s) de la courbe ; ces deux vecteurs forment, avec le vecteur binormal B(s) = T(s) × N(s), le repère de Frenet en M. Les formules de Frenet expriment les dérivées de ces vecteurs par rapport à s : dT/ds = κ N, où κ désigne la courbure de la courbe au point M, c'est-à-dire la norme de dT/ds ; dN/ds = −κ T + τ B, où τ est la torsion de la courbe ; dB/ds = −τ N. Ainsi, la courbure κ mesure la vitesse de rotation du vecteur tangent dans le plan osculateur, tandis que la torsion τ quantifie la façon dont la courbe s'écarte de ce plan. Dans le cas d'une telle portion de courbe plane, la torsion est identiquement nulle et les formules se réduisent aux deux premières.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les rôles de T, N, B, de la courbure et de la torsion.
- Énoncer les trois formules avec leurs hypothèses.
- Recalculer la courbure et la torsion d'une hélice paramétrée par sa longueur.
- Reconnaître les échecs dus à une courbure nulle ou à un mauvais paramètre.
En clair
Imaginez un mobile qui suit une route en lacets. À chaque point, une flèche indique sa direction, une autre le côté vers lequel la trajectoire tourne, et une troisième complète un repère perpendiculaire. Ce repère accompagne le mobile.
Les formules de Frenet disent comment ces trois flèches pivotent quand le mobile avance. La courbure mesure l'intensité du virage. La torsion mesure le basculement de la trajectoire hors de son plan local, comme sur une hélice.
Définition
Les formules de Frenet sont les relations différentielles qui gouvernent un repère orthonormé mobile le long d'une portion de courbe régulière de l'espace, suffisamment dérivable et où la courbure ne s'annule pas. La courbe est paramétrée par son abscisse curviligne, notée s. Au point M(s), le vecteur tangent unitaire T(s) donne le sens du mouvement.
Lorsque la courbure, notée κ(s), est non nulle, le vecteur normal principal N(s) est la direction de la dérivée de T. Le vecteur binormal B(s), défini par B(s) = T(s) × N(s), complète le repère direct. La courbure est la norme de dT/ds. La torsion, notée τ(s), mesure la rotation de B autour de T et donc la sortie du plan osculateur.
Sur une portion de courbe plane où la courbure ne s'annule pas et où le repère de Frenet est donc défini, τ est identiquement nulle : B reste constant et le mouvement du repère se réduit au couple tangent-normal.
Le principe
Soit une courbe suffisamment régulière, paramétrée par l'abscisse curviligne s, et de courbure κ strictement positive au point étudié. Son repère de Frenet est formé du vecteur tangent T, du vecteur normal principal N et du vecteur binormal B. La torsion est notée τ.
La première relation lit la courbure dans la rotation de T. Les deux autres répartissent la rotation de N et de B entre courbure et torsion.
Quand l'utiliser
Le paramètre doit être l'abscisse curviligne s, donc la vitesse de la paramétrisation vaut 1. La courbe doit être assez régulière pour dériver les vecteurs concernés. Enfin, κ doit être non nulle au point étudié afin que N = (dT/ds)/κ, puis B = T × N, soient définis sans ambiguïté.
Avec un paramètre quelconque t, on commence par convertir les dérivées grâce à ds/dt = ‖dr/dt‖ ; employer directement les formules en remplaçant s par t fausse les coefficients. Sur une droite, κ = 0 : la tangente est constante, mais le normal principal de Frenet n'est pas déterminé. Il faut alors choisir un autre repère mobile adapté au problème.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'hélice r(s) = (3 cos(s/5), 3 sin(s/5), 4s/5). La donnée s est une longueur ; le rayon vaut 3 et l'élévation augmente de 4 lorsque l'angle augmente de 1 radian.
1. Dérivons la position.
2. La norme égale à 1 confirme que s est bien l'abscisse curviligne. En dérivant T, sa norme donne la courbure κ = 3/25, puis sa direction donne le normal.
3. Dérivons B. Comme dB/ds = −(4/25)N, la torsion vaut τ = 4/25.
4. Contrôlons au point s = 0 : T = (0, 3/5, 4/5), N = (−1, 0, 0) et B = (0, −4/5, 3/5). Les trois vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux.
Sur cette hélice, la courbure constante 3/25 décrit un virage uniforme, tandis que la torsion constante 4/25 traduit une sortie régulière du plan osculateur. Le repère mobile rend simultanément visibles ces deux rotations.
En pratique
Pour étudier une trajectoire spatiale, on calcule d'abord la tangente unitaire, puis κ, N, B et τ. Le repère de Frenet est pertinent quand la courbure ne s'annule pas et que l'on veut lire virage et torsion directement sur la courbe.
Pour une courbe plane, sur chaque portion où κ ne s'annule pas, on vérifie que τ = 0. Le binormal est alors fixe ; si seul le virage dans le plan importe, le couple tangent-normal suffit. Aux éventuels points d'inflexion où κ = 0, N, B et τ peuvent être indéfinis.
Près d'un point où κ s'annule, le normal de Frenet devient instable ou indéfini. On préfère un autre repère mobile si l'application exige une orientation continue malgré ce passage.
À ne pas confondre
Courbure et torsion. La courbure mesure la variation de la tangente ; la torsion mesure la variation du binormal. Un cercle a une courbure non nulle mais une torsion nulle, tandis que l'hélice de l'exemple possède les deux.
Repère de Frenet et repère fixe. Le premier se déplace et tourne avec la courbe ; le second conserve ses axes. Pour l'hélice, les coordonnées de T, N et B varient dans un repère fixe, même si κ et τ restent constantes.
Limites et pièges
Courbure nulle. Au seuil κ = 0, la formule N = (dT/ds)/κ exige une division par zéro. Le repère de Frenet n'est donc pas défini par cette construction ; il faut employer un autre repère mobile ou traiter séparément le point.
Mauvais paramètre. Si la vitesse ‖dr/dt‖ n'est pas égale à 1, dériver par rapport à t comme s'il s'agissait de s produit une fausse courbure. Il faut appliquer d/ds = (1/‖dr/dt‖) d/dt.
Courbe plane. Sur une portion où κ ne s'annule pas, une torsion nulle ne caractérise pas une droite : un cercle plan a τ = 0 et κ non nulle. Le binormal reste constant, et les relations utiles deviennent dT/ds = κN et dN/ds = −κT. Aux points où κ = 0, N, B et τ peuvent être indéfinis.
Pour aller plus loin
repère de Frenet — Détaille la construction et le rôle géométrique des trois vecteurs mobiles.
Torsion — Approfondit la grandeur qui mesure la sortie d'une courbe hors de son plan osculateur.
abscisse curviligne — Explique le paramètre de longueur indispensable à la forme standard des formules.
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