AnalyseNotion · Glossaire
Frenet Jean
Jean Frédéric Frenet est le mathématicien français à l’origine du repère de Frenet, un repère mobile associé à une courbe régulière de l’espace. Lorsque la vitesse et la courbure ne s’annulent pas, ses vecteurs tangent, normal et binormal décrivent la direction du mouvement, celle vers laquelle la courbe tourne et l’orientation du plan de courbure ; les formules de Serret-Frenet relient leur évolution à la courbure et à la torsion.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la contribution de Jean Frenet et ses principales dates.
- Distinguer les vecteurs tangent, normal et binormal.
- Lire les formules de Serret-Frenet avec leur convention de signe.
- Calculer le repère, la courbure et la torsion d’une hélice.
- Reconnaître les cas où le repère de Frenet n’est pas défini.
En clair
En 1847, à Toulouse, Jean Frédéric Frenet étudie les courbes qui se déploient dans l’espace. Imaginez un point avançant sur une telle courbe : une flèche indique sa direction, une deuxième le côté vers lequel il tourne, une troisième complète l’orientation dans l’espace. Ces trois flèches se déplacent avec le point. Elles forment le repère de Frenet, une sorte de boussole attachée à la courbe.
Les formules de Serret-Frenet racontent comment cette boussole tourne au fil du parcours. La courbure mesure le changement de direction ; la torsion mesure la sortie du plan de courbure.
Définition
Jean Frédéric Frenet (1816-1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français. Élève de l’École normale supérieure, il soutient en 1847, à l’université de Toulouse, une thèse sur les fonctions déterminant l’attraction des sphéroïdes et sur les propriétés des courbes à double courbure. Il y introduit l’idée d’un repère mobile attaché à chaque point d’une courbe gauche.
Pour une courbe régulière paramétrée par sa longueur d’arc, notée s, le vecteur tangent unitaire T donne le sens du parcours. Lorsque la courbure κ est non nulle, le vecteur normal unitaire N pointe dans la direction où T varie. Le vecteur binormal B, défini par le produit vectoriel de T et N, complète un repère orthonormé orienté. Avec la convention B = T × N, la torsion est notée τ et les formules s’écrivent :
En 1852, Frenet publie six des neuf relations scalaires contenues dans ces trois égalités vectorielles, aujourd’hui appelées formules de Serret-Frenet. Professeur de mathématiques à Toulouse puis affecté à Lyon, il se consacre surtout à la météorologie et à l’astronomie de 1853 à 1858. Il cesse toute activité académique en 1868.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’hélice décrite par le paramètre réel t. Son point courant a pour coordonnées x = cos t, y = sin t et z = t. Sa vitesse est constante et vaut √2. Le schéma montre la courbe et les trois vecteurs du repère au point obtenu pour t = 0.
1. La longueur d’arc s vérifie ds/dt = √2. Le vecteur tangent unitaire est donc :
2. La dérivée de T par rapport à s vaut :
Sa norme donne la courbure exacte κ = 1/2, et le vecteur normal est N(t) = (−cos t, −sin t, 0).
3. Le produit vectoriel de T et N fournit le vecteur binormal :
4. Comme la dérivée de B par rapport à s est l’opposé de la torsion multiplié par N, on obtient :
La torsion exacte vaut donc τ = 1/2.
5. Au point t = 0, les trois vecteurs sont deux à deux perpendiculaires et de norme 1. Ce contrôle refaisable confirme qu’ils forment bien un repère orthonormé. Les valeurs κ = 1/2 et τ = 1/2 restent constantes le long de cette hélice.
En pratique
Pour suivre une trajectoire dans l’espace, le repère de Frenet sépare trois mouvements locaux : avancer selon T, tourner vers N et quitter le plan instantané selon B. Si la courbe est donnée avec un paramètre quelconque, on normalise d’abord sa dérivée plutôt que de la traiter comme un vecteur unitaire.
Pour comparer deux courbes, la courbure indique combien leur direction change localement, tandis que la torsion indique comment leur plan de courbure pivote. Une courbe plane a une torsion nulle là où son repère de Frenet est défini ; une hélice comme celle de l’exemple conserve au contraire une torsion non nulle.
Pour dessiner l’orientation locale d’une courbe, on place T, N et B au même point. Si la courbure s’annule, le repère de Frenet ne fournit plus de normale unique ; un repère mobile défini par une autre règle devient alors préférable.
À ne pas confondre
Repère de Frenet et simple vecteur tangent. Le vecteur tangent ne donne qu’une direction de déplacement. Le repère comprend aussi la normale et la binormale : sur l’hélice de l’exemple, trois directions perpendiculaires sont nécessaires pour décrire l’orientation locale.
Courbure et torsion. La courbure mesure la variation de la tangente ; la torsion mesure la variation de la binormale. Un cercle plan a une courbure non nulle mais une torsion nulle, ce qui sépare les deux grandeurs.
Repère fixe et repère mobile. Les axes d’un repère cartésien restent les mêmes pour tous les points. Les vecteurs T, N et B dépendent au contraire du point parcouru : sur l’hélice, leurs coordonnées changent avec t.
Limites et pièges
Vitesse nulle. Si la dérivée de la courbe s’annule, sa direction tangentielle n’est plus fournie par la paramétrisation. Il faut changer de paramétrisation ou étudier séparément le point singulier avant d’employer les formules.
Courbure nulle. Lorsque κ = 0, la tangente ne sélectionne aucune direction normale. N et B ne sont donc pas définis de manière unique par la construction de Frenet ; il faut choisir un autre repère mobile si l’on veut franchir ce point sans ambiguïté.
Paramètre quelconque. Les formules affichées utilisent la longueur d’arc s. Si l’on dérive directement par rapport à un autre paramètre t, le facteur de vitesse ds/dt intervient. Son oubli se repère à une tangente non unitaire ou à une courbure erronée.
Convention d’orientation. Ici, B = T × N et la troisième formule porte le signe − devant τ. Modifier l’ordre du produit vectoriel renverse B et change les signes associés ; il faut annoncer la convention avant de comparer deux écritures.
Pour aller plus loin
courbe gauche — Situer le type de courbe spatiale auquel Frenet associe son repère mobile.
Torsion — Approfondir la grandeur qui décrit la rotation de la binormale le long d’une courbe.
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