Torsion

Imaginez un fil qui s'enroule autour d'un cylindre. Sa courbure indique combien il tourne, tandis que sa torsion indique comment ce virage bascule progressivement hors d'un même plan.

En chaque point suffisamment régulier, le fil possède un plan qui l'épouse au mieux à cet instant : le plan osculateur. Une torsion non nulle signifie que ce plan pivote lorsque l'on avance. Une courbe contenue dans un plan garde au contraire une torsion nulle partout où la mesure est définie.

Soit une courbe de l'espace paramétrée par un vecteur position r, trois fois dérivable. Lorsque sa vitesse ne s'annule pas et que sa courbure est non nulle, le vecteur tangent unitaire T, le vecteur normal principal N et le vecteur binormal B forment le repère de Frenet. Le plan engendré par T et N est le plan osculateur.

L'abscisse curviligne est notée s. Avec la convention orientée B = T × N, la torsion signée τ est le coefficient qui commande la rotation de la binormale : $\frac{dB}{ds}=-\tau N\backslash frac\{dB\}\{ds\}=-\backslash tau\; N$. Pour un paramètre quelconque t, les primes désignant les dérivées par rapport à t, elle se calcule par $\tau =\frac{\det (r^{\mathrm{\prime }},r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})}{\parallel r^{\mathrm{\prime }}\times r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{\parallel }^2}\backslash tau=\backslash frac\{\backslash det(r\text{'},r\text{'}\text{'},r\text{'}\text{'}\text{'})\}\{\backslash lVert\; r\text{'}\backslash times\; r\text{'}\text{'}\backslash rVert^2\}$. Cette formule exige que le produit vectoriel de la vitesse et de l'accélération ne soit pas nul.

La valeur absolue de τ mesure la vitesse de rotation du plan osculateur par unité de longueur parcourue. Son signe dépend de l'orientation choisie dans l'espace. Dans une autre acception, sur un anneau intègre, un élément m d'un module est de torsion s'il existe un scalaire non nul a tel que am = 0 ; ces éléments forment le sous-module de torsion.

Considérons une hélice dont la géométrie et le plan osculateur peuvent être représentés ensemble. Le paramètre t est sans dimension et les coordonnées sont mesurées en centimètres.

Données.
Le rayon vaut 3 cm.
La montée par radian vaut 4 cm.
Le vecteur position est $r(t)=(3\cos t,3\sin t,4t)r(t)=(3\backslash cos\; t,3\backslash sin\; t,4t)$.
La courbure et la torsion sont cherchées en cm⁻¹.

1. Dériver trois fois donne $r^{\mathrm{\prime }}=(-3\sin t,3\cos t,4),r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=(-3\cos t,-3\sin t,0),r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=(3\sin t,-3\cos t,0)r\text{'}=(-3\backslash sin\; t,3\backslash cos\; t,4),\backslash quad\; r\text{'}\text{'}=(-3\backslash cos\; t,-3\backslash sin\; t,0),\backslash quad\; r\text{'}\text{'}\text{'}=(3\backslash sin\; t,-3\backslash cos\; t,0)$.

2. La norme de la vitesse vaut 5 cm et la norme du produit vectoriel de la vitesse par l'accélération vaut 15 cm². La courbure est donc $\kappa =\frac{15}{5^3}=\frac{3}{25}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{-1}\backslash kappa=\backslash frac\{15\}\{5^3\}=\backslash frac\{3\}\{25\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{-1\}$.

3. Le déterminant des trois dérivées vaut 36 cm³. La torsion vaut alors $\tau =\frac{36}{{15}^2}=\frac{4}{25}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{-1}\backslash tau=\backslash frac\{36\}\{15^2\}=\backslash frac\{4\}\{25\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{-1\}$.

Le résultat est constant : chaque centimètre parcouru fait tourner le plan osculateur au même rythme. Un contrôle direct consiste à retrouver 3/25 et 4/25 avec les formules d'une hélice de rayon 3 et de montée 4 : les deux dénominateurs valent bien 3² + 4² = 25.

Pour analyser une trajectoire spatiale, on calcule la torsion le long de la courbe. Si la trajectoire reste plane, une description en deux dimensions suffit ; si la torsion persiste, un modèle tridimensionnel est nécessaire.

Pour comparer deux formes de fil ou de tube, on observe ensemble courbure et torsion. La courbure repère les virages serrés ; la torsion repère le basculement de ces virages hors de leur plan instantané.

Avec des points mesurés, les dérivées successives amplifient le bruit. On préfère alors ajuster une courbe lisse avant le calcul, et l'on compare les valeurs à la précision des mesures plutôt que d'exiger une égalité exacte.

Courbure. Elle mesure le changement de direction de la tangente, tandis que la torsion mesure la rotation du plan osculateur. Un cercle tranche nettement : sa courbure est non nulle, mais sa torsion est nulle.

Torsion mécanique. Elle décrit la sollicitation d'une pièce soumise à un couple. Une barre droite que l'on vrille subit une torsion mécanique, même si son axe central reste une droite, pour laquelle la torsion géométrique usuelle n'est pas définie puisque la courbure est nulle.

Torsion d'un module. Cette notion algébrique concerne l'annulation d'un élément par un scalaire non nul. Le test porte sur une équation am = 0, et non sur une courbe ou un plan osculateur.

Courbure nulle. Si le produit vectoriel de la vitesse et de l'accélération s'annule, le plan osculateur de Frenet et la formule usuelle de la torsion ne sont plus définis. Il faut employer un repère adapté ou étudier une limite, sans attribuer automatiquement la valeur zéro.

Zéro isolé. Une torsion nulle en un seul point ne prouve pas que la courbe est plane autour de ce point. La planéité s'obtient lorsque la torsion est nulle sur tout un intervalle connexe où le repère de Frenet existe.

Signe. Une réflexion de l'espace inverse l'orientation et change le signe de la torsion. Pour comparer deux valeurs signées, il faut donc conserver la même orientation ambiante et la même convention pour la binormale.

Anneau avec diviseurs de zéro. En algèbre, la formule « annulé par un scalaire non nul » se comporte proprement sur un anneau intègre. Sur un anneau général, cet ensemble peut ne pas être un sous-module ; il faut préciser la notion de torsion retenue.

Hélice : retrouvez la famille de courbes dont l'exemple associe une courbure et une torsion constantes.

Courbe gauche : situez les courbes qui ne sont contenues dans aucun plan et pour lesquelles la torsion devient essentielle.

Plan osculateur : approfondissez le plan instantané dont la rotation est mesurée par la torsion.