plan osculateur

Imaginez une feuille courbe et un plan posé contre elle en un point P. Un plan tangent en donne déjà l'inclinaison immédiate. Un plan osculateur va plus loin : la coupe obtenue ne traverse pas simplement P, mais y présente un contact triple.

Autour de P, le plan et la surface ont ainsi la même allure jusqu'aux variations du second ordre. Leur premier écart n'apparaît qu'au degré trois ou au-delà.

Soit une surface régulière et un point P de cette surface. Un plan osculateur en P est un plan dont l'intersection avec la surface possède en P un point de multiplicité au moins trois. Cette multiplicité signifie que, dans des coordonnées locales centrées en P, l'équation de la section ne contient aucun terme non nul de degré inférieur à trois.

Un tel contact impose d'abord au plan d'être tangent à la surface en P. Il exige ensuite davantage : les termes quadratiques qui mesurent le premier écart au plan doivent également s'annuler. Avec la convention qui compte un contact tangent ordinaire comme un contact d'ordre un, cette coïncidence jusqu'au degré deux donne un contact d'ordre au moins deux.

Le mot « triple » porte sur la multiplicité locale de la section. Il ne signifie pas toujours que trois branches réelles distinctes sont visibles. Dans l'exemple de la fiche, la multiplicité trois se décompose précisément en trois droites, ce qui rend le phénomène directement vérifiable.

La construction met en jeu quatre éléments. La surface fournit la forme locale à étudier. Le point P fixe le lieu du contact. Le plan doit passer par P et partager le plan tangent de la surface. Enfin, la courbe de section est l'ensemble des points communs au plan et à la surface.

La position du plan détermine la section, puis l'équation locale de cette section détermine la multiplicité en P. La tangence annule les termes du premier degré ; l'osculation exige aussi l'annulation des termes du second degré. Ces données suffisent à tester le contact par un développement local. L'orientation choisie pour les axes ou l'échelle d'un dessin ne change pas cette multiplicité.

Considérons la surface S, le point P et le plan Π définis par les données suivantes :
• S est le graphe de z = x³ − 3xy² ;
• P a pour coordonnées (0, 0, 0) ;
• Π a pour équation z = 0.

1. Les dérivées partielles par rapport à x et à y valent 3x² − 3y² et −6xy. Elles s'annulent en P, donc le plan tangent à S en P est bien Π.

2. Dans Π, on impose z = 0. La courbe de section vérifie alors l'équation factorisée suivante :

3. La section est donc formée des trois droites x = 0, x = √3y et x = −√3y. Elles se rencontrent en P : la section y possède un point triple.

4. Le premier terme non nul de l'écart entre S et Π est cubique. Le contact est donc d'ordre deux selon la convention retenue, et Π est osculateur à S en P. Pour contrôler la factorisation, on peut remplacer x successivement par 0, √3y et −√3y : chaque substitution donne bien zéro.

Pour tester un plan candidat, on choisit des coordonnées centrées au point étudié et on écrit localement l'écart entre la surface et le plan. Si un terme linéaire subsiste, le plan n'est même pas tangent : il faut d'abord employer le plan tangent.

Si les termes linéaires disparaissent mais qu'un terme quadratique reste, le contact est celui d'un plan tangent ordinaire. Le plan osculateur n'est retenu que lorsque les termes de degrés un et deux s'annulent.

Pour lire la géométrie de la section, on factorise son premier terme non nul. Trois facteurs linéaires réels donnent trois directions visibles, comme dans l'exemple. Sans une telle factorisation, la multiplicité doit être vérifiée algébriquement plutôt que déduite du dessin.

Plan tangent à une surface. Il partage seulement la position et les directions tangentes au premier ordre. Si l'écart local comporte encore un terme quadratique non nul, le plan est tangent mais n'est pas osculateur au sens retenu ici.

Plan osculateur d'une courbe de l'espace. Pour une courbe de courbure non nulle, ce plan est engendré par la tangente et la normale principale. Le critère porte alors sur une courbe donnée, non sur le point triple d'une section plane de surface.

Cercle osculateur. Il approche une courbe plane par un cercle ayant la même tangente et la même courbure au point considéré. Le test ne consiste donc pas à couper une surface par un plan.

Absence d'un plan osculateur. Un plan tangent existe à tout point régulier, mais il n'est pas automatiquement osculateur. Si le terme quadratique de l'écart ne s'annule pas, le contact s'arrête avant l'ordre deux et aucun changement d'échelle du dessin ne corrige ce défaut.

Multiplicité supérieure. Si les premiers termes non nuls apparaissent au degré quatre ou davantage, le contact dépasse le seuil demandé. Il reste « d'ordre au moins deux » ; il ne faut pas le présenter comme exactement d'ordre deux.

Trois traits non obligatoires. Un point de multiplicité trois ne se résout pas nécessairement en trois branches réelles distinctes. Il faut examiner le premier terme homogène non nul de l'équation locale, et non compter les branches visibles sur une figure.

Point non régulier de la surface. Si la surface ne possède pas de plan tangent bien défini en P, le test précédent ne s'applique pas directement. Il faut d'abord étudier la singularité de la surface au lieu de lui attribuer un plan osculateur régulier.

La fiche plan tangent permet de revoir le premier niveau de contact avant l'annulation supplémentaire des termes quadratiques.

La fiche formule de Frenet présente le plan osculateur dans son autre cadre classique : celui d'une courbe de l'espace.

La fiche Torsion prolonge ce second sens en mesurant la rotation du plan osculateur le long d'une courbe spatiale.