arête de rebroussement

Imaginez une courbe dans l'espace et une droite qui lui est tangente en chacun de ses points. En faisant glisser cette droite le long de la courbe, elle engendre une nappe réglée. Si cette nappe est développable, les droites voisines se resserrent sur la courbe de départ : cette courbe est l'arête de rebroussement.

La surface peut ainsi être dépliée sans étirement, comme une feuille roulée. Vu dans un plan qui coupe la surface de manière appropriée, le bord local de la section forme un point de rebroussement. L'arête n'est donc pas une arête au sens d'un pli anguleux : elle est une courbe géométrique où la surface rassemble ses génératrices.

Une surface réglée est une surface parcourue par une famille de droites appelées génératrices. Lorsqu'elle est développable, ses plans tangents restent constants le long de chaque génératrice et la surface peut être mise à plat localement sans déformation. Dans une portion localement régulière d'une surface développable, hors cas dégénérés — notamment le plan — et si elle n'est ni un cône ni un cylindre, la génératrice située au paramètre t est tangente à une courbe G, appelée arête de rebroussement.

Un modèle de surface tangente s'écrit X(t,u) = γ(t) + uγ′(t), où γ(t) désigne un point de la courbe G, γ′(t) sa direction tangente et u un nombre réel qui parcourt la génératrice. Dans ce modèle, la génératrice correspondant à t est donc la droite passant par γ(t) et de direction γ′(t). Aux points réguliers de la surface, typiquement pour u ≠ 0, les plans tangents coïncident avec les plans osculateurs de G ; sur l'arête u = 0, il faut parler du plan tangent limite, lorsque celui-ci existe.

Le cas d'un cône ou d'un cylindre est exclu de cette appellation dans la définition donnée : leurs génératrices ont respectivement un sommet commun ou une direction constante. Pour une surface réglée non développable, les génératrices ne se rassemblent pas de cette manière sur une courbe ; la notion analogue est alors la ligne de striction.

Prenons la courbe G définie par γ(t) = (t, t², t³), où t est un nombre réel. Sa direction tangente est γ′(t) = (1, 2t, 3t²). La surface tangente associée est X(t,u) = γ(t) + uγ′(t) ; pour chaque valeur de t, u parcourt une génératrice.

1. Pour t = 0, le point de la courbe est γ(0) = (0, 0, 0) et la direction de la génératrice vaut γ′(0) = (1, 0, 0). La génératrice est donc la droite X(0,u) = (u, 0, 0).

2. Pour t = 1, on obtient γ(1) = (1, 1, 1) et γ′(1) = (1, 2, 3). La génératrice correspondante est X(1,u) = (1 + u, 1 + 2u, 1 + 3u), une droite passant par le point (1, 1, 1).

3. Chaque génératrice ainsi calculée passe par un point de G et porte la direction tangente à G en ce point. Dans cette surface tangente, la courbe G est donc l'arête de rebroussement : elle est le lieu où la famille de génératrices reste tangente à une même courbe.

La figure projette les points et les directions obtenus pour t = 0 et t = 1. Cette projection ne remplace pas la définition dans l'espace ; elle permet de vérifier les deux calculs sans dépendre d'une représentation en perspective.

Pour reconnaître une arête de rebroussement, on repère d'abord la famille de génératrices de la surface réglée. On cherche ensuite une courbe dont chaque point appartient à la génératrice correspondante et dont la tangente donne la direction de cette génératrice.

Cette lecture est utile lorsqu'une surface développable est construite à partir d'une courbe : elle indique où les génératrices se concentrent et quel plan tangent leur est associé. Elle aide aussi à ne pas confondre une singularité géométrique avec un simple bord de découpe ou avec une arête formée par deux faces planes.

Une ligne de striction concerne une surface réglée générale, y compris lorsqu'elle n'est pas développable. Sous les hypothèses usuelles de régularité, elle se construit comme le lieu des points d'une génératrice qui sont les pieds de la perpendiculaire commune à cette génératrice et à une génératrice voisine (lorsque cette perpendiculaire est définie), plutôt que comme un vague lieu de génératrices « les plus proches » ; elle ne joue pas automatiquement le rôle d'une courbe à laquelle chaque génératrice est tangente.

L'arête de rebroussement ne désigne pas non plus le point de rebroussement d'une section plane. Le point appartient à une courbe plane obtenue par découpe, tandis que l'arête est une courbe de l'espace portée par la surface. Le premier est un phénomène de section ; la seconde organise la famille des génératrices.

Enfin, une arête de polyèdre est un segment ou une courbe où deux faces se rencontrent avec un angle. Une arête de rebroussement peut rendre un plan tangent singulier dans une section, mais elle n'est pas la rencontre de deux faces planes.

La construction X(t,u) = γ(t) + uγ′(t) décrit une surface tangente seulement lorsque la courbe est suffisamment régulière et que la paramétrisation fournit une direction tangente non nulle. Si γ′(t) s'annule, la droite génératrice n'est plus déterminée par cette formule et une autre description locale est nécessaire.

L'exclusion du cône et du cylindre est importante. Un cône possède bien une famille de génératrices, mais elles passent toutes par son sommet ; un cylindre possède des génératrices parallèles. Les traiter comme une arête de rebroussement ordinaire ferait perdre la distinction posée par la définition.

La notion de plan osculateur suppose elle aussi un comportement régulier de la courbe. La torsion nulle n'est pas une dégénérescence : une courbe plane de courbure non nulle possède un plan osculateur bien défini. En revanche, si la courbure s'annule ou si γ′(t) et γ″(t) cessent d'être indépendants, le plan osculateur peut cesser d'être unique ou demander une définition par limite, avec les dérivées suffisantes. Une image plane d'une surface ne suffit donc pas à conclure : il faut vérifier les tangences dans l'espace.

L'arête de rebroussement relie la géométrie locale de la surface à la géométrie différentielle de sa courbe directrice. Les plans tangents, les plans osculateurs et la courbure décrivent trois niveaux de lecture d'un même contact : la surface, sa courbe et la manière dont cette courbe se courbe dans l'espace.

Pour poursuivre, l'étude des surfaces développables permet de comparer les surfaces tangentes, coniques et cylindriques, tandis que celle des courbures d'une surface précise ce que signifie un plan tangent qui reste constant le long d'une génératrice. La ligne de striction fournit le prolongement naturel lorsque la surface réglée n'est plus développable.