fenêtre de Viviani

Imaginez une boule traversée par un tube cylindrique décentré, dont la surface passe par le centre de la boule. Le bord commun aux deux surfaces dessine une boucle double dans l'espace : la fenêtre de Viviani. Le diamètre du cylindre vaut la moitié de celui de la sphère, et l'une de ses droites de surface passe par le centre de celle-ci.

Selon la direction du regard, cette même courbe projette un cercle, un arc de parabole ou une forme en huit. Ces trois ombres différentes révèlent qu'elle n'est contenue dans aucun plan.

La fenêtre de Viviani est une courbe gauche fermée, aussi appelée courbe de Viviani. Soit R un rayon strictement positif. Dans un repère choisi avec le centre de la sphère pour origine, on peut prendre la sphère de rayon R et un cylindre de rayon R/2. L'axe du cylindre est parallèle à l'axe z et passe par le point de coordonnées (R/2, 0) du plan (x, y). Le cylindre a donc pour diamètre R et l'une de ses génératrices passe par l'origine.

Les points de la courbe satisfont simultanément les deux équations suivantes :Un paramétrage complet utilise un angle t compris entre 0 inclus et 2π exclu :Pour t = π/2 et t = 3π/2, la courbe passe respectivement par les deux pôles (0, 0, R) et (0, 0, -R). Elle est fermée et se croise au point (R, 0, 0), atteint pour t = 0 et t = π.

Avec cette orientation des axes, les projections sur les plans (x, y), (x, z) et (y, z) donnent respectivement un cercle, un arc de parabole et une lemniscate de Gerono. Ce triple visage permet de reconnaître la géométrie spatiale de la courbe. La fenêtre de Viviani est aussi un cas particulier de clélie et de couronne sinusoïdale ; ses deux surfaces porteuses sont des quadriques.

Prenons une sphère de rayon R = 2 et le cylindre associé de diamètre 2. Son rayon vaut donc 1. Le centre de la sphère est l'origine, et l'axe du cylindre passe par le point de coordonnées (1, 0) dans le plan (x, y).

1. Les deux surfaces ont pour équations :La seconde équation devient x² + y² = 2x.

2. Choisissons t = π/6. Le paramétrage donne x = 3/2, y = √3/2 et z = 1.

3. Le contrôle sur la sphère donne 9/4 + 3/4 + 1 = 4. Le contrôle sur le cylindre donne 9/4 + 3/4 = 3, exactement comme 2x = 3.

Le point de coordonnées (3/2, √3/2, 1) appartient donc aux deux surfaces et à leur intersection. Le même double contrôle fonctionne pour toute valeur de t.

Pour construire la courbe dans un logiciel de géométrie 3D, on trace la sphère et le cylindre, puis on demande leur intersection. Le paramétrage est préférable si le logiciel ne sait pas calculer directement une intersection de surfaces.

Pour contrôler un dessin, on observe ses trois projections orthogonales. Un cercle, un arc de parabole et une lemniscate dans les plans convenus constituent des repères plus fiables qu'une seule vue en perspective.

Dans le problème historique de 1692, quatre ouvertures sont pratiquées dans une coupole hémisphérique. La grandeur calculée est l'aire de la surface sphérique de la coupole située hors de ces quatre ouvertures, autrement dit la partie qui subsiste après leur découpe. Cette aire vaut 4R², le carré du diamètre 2R de la sphère.

La lemniscate de Gerono. Elle est plane, tandis que la fenêtre de Viviani est une courbe de l'espace. Dans le repère retenu, seule la projection de la fenêtre sur le plan (y, z) est une lemniscate de Gerono ; un point de la courbe complète possède aussi une coordonnée x.

Une quadrique. La sphère et le cylindre sont chacun une surface définie par une équation du second degré. La fenêtre de Viviani n'est pas l'une de ces surfaces : elle est leur ligne d'intersection, formée des points qui vérifient les deux équations.

Le rayon doit être positif. Pour R = 0, la sphère et le cylindre se réduisent et l'intersection n'est plus la courbe fermée décrite ici. Il faut donc poser R > 0 avant d'utiliser les équations ou le paramétrage.

Les dimensions et la position du cylindre sont décisives. Son diamètre doit valoir R et une génératrice doit passer par le centre de la sphère. Si l'un de ces critères change, l'intersection obtenue n'est plus la fenêtre de Viviani définie ici.

Fermée ne signifie pas simple. Le paramétrage atteint le point (R, 0, 0) pour deux valeurs distinctes de t dans un tour : t = 0 et t = π. Sur un tracé, ce croisement est donc une propriété de la courbe, pas une erreur à lisser.

Courbe gauche : pour situer la fenêtre de Viviani parmi les courbes qui ne sont contenues dans aucun plan.

Quadrique : pour approfondir la famille de surfaces à laquelle appartiennent la sphère et le cylindre de la construction.