théorème d'Archimède

Imaginez une balle juste enfermée dans une boîte cylindrique : elle touche le côté, le fond et le couvercle. Archimède a mis au jour une relation remarquable entre leurs volumes : la balle occupe exactement les deux tiers du cylindre.

Son nom est aussi attaché à d’autres égalités géométriques et à un résultat physique. Dans l’eau, un objet reçoit vers le haut une poussée égale au poids de l’eau dont il prend la place. Le contexte indique donc toujours de quel « théorème d’Archimède » il est question.

L’expression « théorème d’Archimède » ne désigne pas un résultat unique. En géométrie de l’espace, elle peut désigner la conservation des aires entre une sphère et le cylindre droit circonscrit : la projection de la surface sphérique sur le cylindre, dans les directions perpendiculaires à l’axe, associe à une zone sphérique la bande cylindrique comprise entre les mêmes plans horizontaux. Elle peut aussi désigner le rapport des volumes. Pour une boule de rayon r et le cylindre circonscrit de même rayon et de hauteur 2r, les volumes sont :

Pour la spirale d’Archimède, l’aire balayée par le rayon pendant un tour complet, depuis le pôle jusqu’à l’extrémité de la première spire, vaut le tiers de l’aire du cercle ayant pour rayon le rayon final de la spirale. La précision « un tour complet depuis le pôle » est nécessaire à ce rapport d’un tiers.

En hydrostatique, le résultat est généralement nommé principe d’Archimède. Un corps plongé totalement ou partiellement dans un fluide au repos subit une force verticale ascendante. Si la masse volumique du fluide et la pesanteur sont uniformes, avec ρ_f la masse volumique du fluide, V_d le volume de fluide déplacé et g l’intensité de la pesanteur, la norme de cette poussée vaut $F_A={\rho }_{f}g{V}_{d}F\_A=\backslash rho\_f\; gV\_d$. Son point d’application est le centre de poussée, c’est-à-dire le centre de masse du volume de fluide déplacé lorsque la masse volumique est uniforme.

Si une boule de rayon r est inscrite dans un cylindre droit de rayon r et de hauteur 2r, alors son volume vaut les deux tiers de celui du cylindre. Si la première spire d’une spirale d’Archimède est parcourue du pôle jusqu’à un tour complet, alors l’aire balayée vaut le tiers de celle du cercle de rayon final.

Si un corps est plongé dans un fluide au repos de masse volumique uniforme, sous une pesanteur uniforme, alors le fluide exerce sur lui une poussée verticale vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé : $F_A={\rho }_{f}g{V}_{d}F\_A=\backslash rho\_f\; gV\_d$.

Le rapport des volumes exige une boule et son cylindre droit circonscrit : même rayon r, hauteur 2r, et tangence de la sphère aux deux bases et à la surface latérale. La conservation des aires concerne des morceaux de surface correspondants sur cette sphère et ce cylindre, et non leurs projections planes. Le rapport d’un tiers pour la spirale concerne la première spire complète partant du pôle.

Pour la poussée, le fluide doit être au repos dans le référentiel étudié. Le volume V_d est seulement la partie immergée : il égale le volume total du corps uniquement si celui-ci est entièrement immergé. Si le fluide est en mouvement accéléré ou si l’on cherche les forces visqueuses sur un objet en déplacement, la seule poussée hydrostatique ne suffit plus ; il faut un modèle de mécanique des fluides adapté.

Considérons une boule de rayon 3 cm et son cylindre circonscrit, de rayon 3 cm et de hauteur 6 cm. Le schéma matérialise les tangences qui imposent ces dimensions. Pour prolonger le même exemple dans l’eau, supposons la boule entièrement immergée, avec une masse volumique de l’eau de 1 000 kg/m³ et g = 9,81 N/kg.

1. Le volume du cylindre est :

2. Le volume de la boule est :Le quotient 36π/54π se simplifie en 2/3, ce qui vérifie exactement le rapport annoncé.

3. Entièrement immergée, la boule déplace 36π cm³, soit $36\pi \times {10}^{-6}{\mathrm{m}}^{3}36\backslash pi\backslash times10^\{-6\}\backslash \; \backslash mathrm\{m\}^3$. Sa poussée dans l’eau vaut alors :Le contrôle d’unités donne kg/m³ × N/kg × m³ = N.

Pour calculer une poussée hydrostatique, on détermine d’abord le volume réellement immergé, puis on le multiplie par la masse volumique du fluide et par g. Si l’objet flotte, une alternative plus directe consiste à utiliser l’équilibre : la poussée compense alors le poids total de l’objet.

Pour comparer une boule à son cylindre circonscrit, le rapport 2/3 évite deux calculs séparés dès que la tangence et la hauteur 2r sont vérifiées. Si le cylindre a une autre hauteur ou un autre rayon, il faut revenir aux formules de volume.

Pour une zone sphérique ou une première spire, les résultats d’Archimède remplacent une aire courbe par une aire plus familière. Le dessin doit toutefois confirmer les correspondances : mêmes niveaux sur le cylindre, ou départ au pôle et tour complet pour la spirale.

Principe d’Archimède et famille des théorèmes d’Archimède. Le premier concerne une force exercée par un fluide ; la seconde expression peut viser aussi des aires ou des volumes. La présence d’une masse volumique ou d’un fluide tranche en faveur du principe hydrostatique.

Propriété archimédienne des nombres. Elle affirme, dans les nombres réels et, plus généralement, dans tout corps ordonné archimédien, qu’aucune grandeur positive n’est infiniment petite devant une autre. Elle ne concerne ni la sphère, ni la spirale, ni la poussée d’un fluide.

Sphère et boule. La sphère est la surface ; la boule contient aussi l’intérieur. On compare des aires pour la projection sphère-cylindre, mais des volumes pour le rapport boule-cylindre.

Objet partiellement immergé. Employer le volume total surestime la poussée. Le symptôme est une force inchangée quand la ligne d’eau se déplace ; il faut calculer uniquement le volume situé sous la surface libre.

Fluide de masse volumique variable. La formule ρ_fgV_d suppose une masse volumique uniforme sur le volume déplacé. Dans un fluide stratifié, il faut intégrer l’effet de la pression ou, sous les hypothèses adaptées, le poids du fluide déplacé avec sa densité locale.

Spirale parcourue sur un autre angle. Le rapport d’un tiers n’est pas valable pour un arc arbitraire. Pour une spirale de loi $r=a\theta r=a\backslash theta$ parcourue depuis θ = 0 jusqu’à θ = Θ, le rapport entre l’aire balayée et celle du cercle de rayon aΘ vaut $\mathrm{\Theta }\mathrm{/}(6\pi )\backslash Theta/(6\backslash pi)$ ; il vaut 1/3 seulement pour Θ = 2π.

Cylindre non circonscrit. Le rapport 2/3 disparaît dès que le rayon du cylindre diffère de celui de la boule ou que sa hauteur diffère de 2r. Une absence de tangence aux bases ou au côté impose de recalculer les deux volumes.

La fiche Archimède replace ces résultats parmi les travaux attribués au savant grec.

La fiche spirale précise le vocabulaire géométrique utile pour distinguer une spire complète d’un arc quelconque.

L’article Comment Archimède a quarré sa spirale développe le calcul d’aire associé à la spirale d’Archimède.