nombre d'Archimède

Imaginons un petit cube plongé dans un fluide. Son comportement dépend de l'écart entre sa masse volumique et celle du fluide, mais aussi de la viscosité qui freine son mouvement.

Le nombre d'Archimède réunit ces effets dans une valeur sans unité. La valeur absolue d'Ar augmente avec la valeur absolue de l'écart de masse volumique, tandis qu'une viscosité plus grande la réduit fortement puisqu'elle intervient au carré.

En mécanique des fluides, le nombre d'Archimède, noté Ar, est un nombre adimensionnel associé à un corps immergé. Il combine la pesanteur, le volume du corps, la masse volumique du fluide, l'écart de masse volumique entre le corps et le fluide, et la viscosité dynamique du fluide.

On note g l'accélération de la pesanteur, V le volume du corps, ρ sa masse volumique, ρ_f la masse volumique du fluide et η la viscosité dynamique du fluide. La définition fournie s'écrit : $Ar=\frac{gV{\rho }_f(\rho -{\rho }_f)}{{\eta }^2}Ar=\backslash frac\{gV\backslash rho\_f(\backslash rho-\backslash rho\_f)\}\{\backslash eta^2\}$. Avec des unités cohérentes, le résultat n'a pas d'unité. La viscosité doit être non nulle pour que ce quotient soit défini.

Cette écriture conserve le signe de ρ − ρ_f : Ar est positif si le corps est plus dense que le fluide, nul si les deux masses volumiques sont égales, et négatif dans le cas inverse. Certains usages choisissent la valeur absolue de cet écart afin de garder un nombre positif ; la convention doit donc être vérifiée avant de comparer deux résultats. En mathématiques, « constante d'Archimède » peut aussi nommer π : il s'agit alors d'une autre notion.

Considérons un cube hypothétique immergé. Son volume V vaut 0,001 m³. Sa masse volumique ρ vaut 2 000 kg/m³. Le fluide a une masse volumique ρ_f de 1 000 kg/m³ et une viscosité dynamique η de 1 Pa·s. On prend une accélération de la pesanteur g égale à 10 m/s².

1. Calculer l'écart de masse volumique : ρ − ρ_f = 2 000 − 1 000 = 1 000 kg/m³.
2. Élever la viscosité au carré : η² = 1 (Pa·s)².
3. Remplacer chaque grandeur dans la relation : $Ar=\frac{10\times \mathrm{0,001}\times 1000\times 1000}{1^2}Ar=\backslash frac\{10\backslash times0\{,\}001\backslash times1000\backslash times1000\}\{1^2\}$.
4. Effectuer le produit : Ar = 10 000.

Le résultat est donc exactement 10 000 pour les données choisies, sans unité. Un contrôle dimensionnel refait le calcul : le numérateur et η² ont tous deux l'unité kg²·m⁻²·s⁻², qui s'annule dans le quotient.

Pour comparer deux corps de même volume dans le même fluide, on calcule Ar avec la même convention. L'écart de masse volumique devient alors le critère qui sépare directement les deux situations.

Pour étudier un même corps dans deux fluides, on remplace la masse volumique et la viscosité par celles de chaque fluide. Il faut préférer cette comparaison recalculée à une conclusion fondée sur la seule densité, car η intervient au carré.

Ar fournit un indicateur synthétique, pas une trajectoire complète. Si la question porte sur la vitesse à chaque instant ou sur la forme précise de l'écoulement, un modèle mécanique détaillé est nécessaire à la place de ce seul nombre.

Le nombre d'Archimède des fluides ne doit pas être confondu avec la constante d'Archimède, autre nom parfois donné à π. Le critère décisif est le contexte : π est une constante mathématique, tandis que Ar est calculé à partir d'un corps et d'un fluide.

Il ne faut pas non plus confondre Ar avec la poussée d'Archimède. Une poussée est une force et s'exprime en newtons ; Ar est un quotient sans unité. Dans l'exemple du cube, 10 000 est donc un nombre, pas une force de 10 000 N.

Si ρ = ρ_f, l'écart de masse volumique est nul et la formule donne exactement Ar = 0. Il ne faut pas arrondir deux masses volumiques proches à une même valeur avant le calcul : on conserve leur précision disponible, puis on évalue l'incertitude du résultat.

Si ρ < ρ_f, la formule signée de cette fiche donne Ar < 0. Un résultat positif obtenu dans la même situation signale probablement une convention fondée sur |ρ − ρ_f| ; il faut harmoniser les conventions avant toute comparaison.

La valeur η = 0 annule le dénominateur : Ar n'est alors pas défini par cette relation. Lorsque η est seulement très petite, son carré rend le résultat très sensible à la valeur retenue ; il faut conserver les unités et la précision de mesure au lieu d'annoncer une valeur excessivement précise.

La fiche Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) développe la constante π, l'autre notion parfois appelée constante d'Archimède.