formule de Borda-Carnot

Imaginez de l’eau circulant dans un tuyau étroit qui débouche soudain dans un tuyau plus large. Le fluide ralentit, mais une partie de son énergie mécanique ne se transforme pas utilement : des remous et des zones de décollement apparaissent près de l’élargissement.

La formule de Borda-Carnot chiffre cette perte à partir de l’écart entre la vitesse moyenne avant l’élargissement et celle mesurée après. Plus cet écart est grand, plus la perte calculée augmente rapidement, car cet écart intervient au carré.

La formule de Borda-Carnot, ou équation de Borda, évalue la perte d’énergie mécanique par unité de volume provoquée par un élargissement brusque dans une conduite, dans le cadre usuel d’un écoulement permanent incompressible et d’un modèle unidimensionnel fondé sur les vitesses moyennes. Elle s’applique à partir de deux sections encadrant le raccordement : la vitesse moyenne en amont est notée v₁, la vitesse moyenne en aval v₂, et la densité du fluide ρ. La perte par unité de volume est notée ΔE.

Le coefficient empirique Λ traduit l’effet de la géométrie du raccordement et prend une valeur comprise entre 0 et 1. Avec ces grandeurs, la relation est $\mathrm{\Delta }E=\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }\rho (v_1-v_2{)}^2\backslash Delta\; E\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash Lambda\backslash rho\; (v\_1-v\_2)^2$. Pour un élargissement idéalement brusque, Λ vaut 1. L’unité de ΔE est le joule par mètre cube lorsque ρ est exprimée en kilogrammes par mètre cube et les vitesses en mètres par seconde.

Cette perte représente l’énergie mécanique dissipée par les turbulences et le décollement de l’écoulement. Elle complète donc le bilan de Bernoulli au passage de l’élargissement, au lieu de supposer que l’énergie mécanique se conserve intégralement.

Dans une conduite présentant un élargissement brusque, sous les hypothèses d’un écoulement permanent incompressible et du modèle unidimensionnel usuel de Borda-Carnot, on mesure la vitesse moyenne v₁ en amont et la vitesse moyenne v₂ en aval. On connaît aussi la densité ρ du fluide et le coefficient géométrique Λ, compris entre 0 et 1. La perte d’énergie mécanique par unité de volume ΔE est alors donnée par :

Pour un élargissement idéalement brusque, Λ = 1. La différence des vitesses étant élevée au carré, son signe ne change pas la valeur de la perte.

La relation vise une perte singulière localisée au passage d’une section de conduite à une section plus grande. Elle suppose un écoulement permanent incompressible et le modèle unidimensionnel usuel de Borda-Carnot, fondé sur les vitesses moyennes de part et d’autre de l’élargissement. Il faut aussi disposer de la densité du fluide et d’un coefficient Λ correspondant à la géométrie étudiée. Dans ce cadre, pour le cas idéalement brusque décrit par Borda-Carnot, ce coefficient vaut 1.

Si la section varie progressivement sur une grande longueur, le raccordement n’est plus un élargissement brusque : appliquer automatiquement Λ = 1 surestimerait ou décrirait mal la perte. Il faut alors employer un coefficient adapté à cette géométrie, ou un modèle de perte propre au raccordement réel, puis intégrer le résultat au bilan de Bernoulli.

De l’eau traverse un élargissement idéalement brusque. Les données retenues sont :
densité du fluide : ρ = 1 000 kg/m³ ;
vitesse moyenne en amont : v₁ = 2 m/s ;
vitesse moyenne en aval : v₂ = 0,5 m/s ;
coefficient de l’élargissement : Λ = 1.

1. La différence des vitesses vaut 2 − 0,5 = 1,5 m/s.

2. Son carré vaut (1,5 m/s)² = 2,25 m²/s².

3. La substitution dans la formule donne :

La perte d’énergie mécanique par unité de volume est donc exactement 1 125 J/m³ avec ces données. Pour contrôler le calcul, les unités donnent kg/(m·s²), équivalent à J/m³, et la moitié de 1 000 × 2,25 redonne bien 1 125.

Lorsqu’une conduite change brusquement de diamètre, l’ingénieur relève les deux sections, détermine les vitesses moyennes correspondantes et chiffre la perte singulière. Cette valeur est ensuite ajoutée au bilan énergétique de la conduite.

Si le raccordement réel est progressif, il ne suffit pas de poser Λ = 1. La forme observable du raccordement conduit à choisir un coefficient adapté ou un autre modèle de perte.

Pour comparer deux aménagements, on conserve le même fluide et les mêmes conditions d’écoulement, puis on compare leurs valeurs de Λ et les écarts de vitesse. Le dispositif qui réduit ces facteurs diminue la perte attribuée à l’élargissement.

Équation de Bernoulli sans pertes. Elle décrit un bilan idéal d’énergie mécanique, tandis que la formule de Borda-Carnot ajoute une dissipation localisée. Si un élargissement produit remous et décollement, le bilan idéal seul ne chiffre pas cette perte singulière.

Variation de pression. Une différence de pression entre deux sections n’est pas, à elle seule, la perte d’énergie mécanique : la vitesse change également. Le cas tranche en écrivant le bilan complet, puis en isolant la part dissipée par l’élargissement.

Vitesses égales. Si v₁ = v₂, la formule donne ΔE = 0, même avec Λ = 1. Une valeur positive obtenue dans ce cas signale une erreur de substitution ou l’ajout d’une autre perte que celle de l’élargissement.

Raccordement non brusque. Une transition longue et progressive ne relève pas automatiquement du cas Λ = 1. Le symptôme est une géométrie sans saut net de section ; il faut choisir le coefficient ou le modèle correspondant au raccordement réel.

Coefficient sans justification. Λ doit rester entre 0 et 1 dans le cadre donné et dépend de la géométrie. Une valeur choisie hors de cet intervalle, ou recopiée depuis un autre raccordement, invalide l’interprétation ; il faut documenter la géométrie avant le calcul.

Perte totale de la conduite. Le résultat ne couvre que la perte singulière associée à l’élargissement. Si la conduite comporte d’autres raccords ou des pertes réparties, le bilan de Bernoulli doit les traiter séparément au lieu de les attribuer à Borda-Carnot.

Une étape suivante consiste à replacer la perte de Borda-Carnot dans un bilan de Bernoulli complet. Cette écriture permet de suivre, entre deux sections, la pression, l’énergie liée à la vitesse et la part dissipée par l’élargissement.

On peut aussi étudier l’influence de la géométrie en faisant varier Λ entre 0 et 1, tout en gardant ρ, v₁ et v₂ fixes. La perte varie alors proportionnellement à Λ, mais quadratiquement avec l’écart des vitesses.