équations d'Euler

Dans un conduit qui se resserre, un fluide incompressible doit accélérer pour que le même débit continue de passer. Cette accélération s’accompagne d’une variation de pression : le fluide avance parce que les forces de pression modifient sa vitesse.

Les équations d’Euler traduisent ce bilan pour un fluide idéalisé sans viscosité ni conduction thermique. Elles suivent l’évolution de grandeurs comme la vitesse, la pression et la densité, sans décrire les frottements internes du fluide.

Les équations d’Euler forment un modèle de mécanique des fluides pour un fluide parfait, donc sans viscosité et sans conduction de chaleur. Elles décrivent des champs qui varient avec la position et le temps. La densité est notée ρ, le vecteur vitesse u, la pression p et la force extérieure par unité de masse f. La conservation locale de la quantité de mouvement s’écrit :

Le terme de gauche mesure l’accélération d’une parcelle de fluide. À droite, le gradient de pression et les forces extérieures, comme la pesanteur, produisent cette accélération. La masse se conserve aussi :

Pour un fluide compressible, une équation d’énergie et une relation d’état complètent habituellement le système afin de déterminer toutes les inconnues. Dans le cas incompressible à densité constante, la conservation de la masse devient $\mathrm{\nabla }\cdot u=0\backslash nabla\backslash mathbin\{\backslash cdot\}u=0$. Les équations de Navier–Stokes ajoutent les effets visqueux ; annuler leur viscosité redonne l’équation de quantité de mouvement d’Euler.

Un fluide incompressible s’écoule de façon stationnaire dans un conduit horizontal qui se resserre. Le schéma matérialise les deux sections et le doublement de la vitesse utilisé dans le calcul.

Les données sont :
• une densité ρ = 1 000 kg/m³ ;
• une aire A₁ = 0,020 m² et une vitesse v₁ = 2 m/s ;
• une aire A₂ = 0,010 m² ;
• une pression p₁ = 120 000 Pa ;
• aucune variation d’altitude ni perte visqueuse.

1. La conservation du débit impose :

2. Le long de cette ligne de courant, l’équation d’Euler stationnaire donne la relation de Bernoulli :

3. On isole la pression de sortie :La pression baisse donc exactement de 6 kPa dans ce modèle.

4. Le contrôle du débit donne 0,020 × 2 = 0,040 m³/s dans la première section et 0,010 × 4 = 0,040 m³/s dans la seconde. Le même débit traverse bien les deux sections.

Dans un conduit, les équations d’Euler relient une accélération du fluide à une variation de pression. Si les pertes par frottement mesurées deviennent sensibles, les équations de Navier–Stokes ou un modèle de pertes de charge sont préférables.

En aérodynamique, le modèle d’Euler décrit l’écoulement extérieur lorsque la viscosité influence peu le bilan recherché. Près d’une paroi, une couche limite ou un décollement observé signale qu’un modèle visqueux est nécessaire.

Pour un gaz dont la densité varie nettement, on emploie le système compressible avec conservation de la masse et de l’énergie. Si la densité reste pratiquement constante aux précisions visées, la version incompressible allège le calcul.

Les équations d’Euler–Lagrange recherchent les fonctions qui rendent stationnaire une fonctionnelle en calcul des variations. Elles se reconnaissent à un lagrangien et à une variation d’action ; une pression, une densité et un champ de vitesse signalent ici les équations d’Euler des fluides.

Les équations d’Euler du solide rigide décrivent la rotation d’un corps à partir de son moment cinétique, de ses moments d’inertie et des couples appliqués. Elles ne portent pas sur des champs de pression et de vitesse répartis dans un fluide.

Viscosité nulle ne signifie pas vitesse uniforme. Un gradient de pression ou une force extérieure peut encore accélérer le fluide. Si une vitesse variable est observée, il faut examiner ce bilan des forces plutôt que conclure à un frottement.

Au contact d’une paroi. Le modèle d’Euler interdit la traversée d’une paroi solide, mais n’impose pas que la vitesse tangentielle y soit nulle. Une couche limite ou un décollement exige un modèle visqueux, typiquement Navier–Stokes.

Au voisinage du régime sonique. Lorsque la vitesse locale atteint celle du son, soit un nombre de Mach égal à 1, le caractère de l’écoulement change. Si un choc apparaît, la forme différentielle lisse ne vaut plus au saut : il faut employer les lois de conservation sous forme faible et une condition d’entropie.

Incompressible n’est pas synonyme de sans pression. Une densité constante simplifie la conservation de la masse, mais la pression demeure l’inconnue qui impose la contrainte de divergence nulle. La supprimer rendrait le bilan de quantité de mouvement incomplet.

L’étude avancée des équations d’Euler conduit aux lois de conservation, aux caractéristiques et aux solutions faibles. Ces outils expliquent comment une solution initialement régulière peut former une discontinuité et pourquoi une condition d’entropie sert alors à sélectionner la solution physique.