problème de Hele-Shaw

Imaginez deux plaques transparentes presque collées, avec une mince couche de fluide entre elles. On injecte un fluide A, moins visqueux, au milieu d'un fluide B, plus visqueux. A pousse B et leur limite commune se déplace.

Vue de dessus, cette limite ne reste pas forcément lisse : des avancées étroites se ramifient dans B. Ces formes sont les doigts de Saffman-Taylor. Le faible écart entre les plaques rend le mouvement presque plan, ce qui permet de suivre l'interface comme une courbe mobile.

Une cellule de Hele-Shaw est formée de deux plaques planes parallèles séparées par un très faible écart. Le problème de Hele-Shaw étudie l'écoulement visqueux dans cette géométrie. Le modèle classique moyenne la vitesse sur l'épaisseur : le mouvement devient bidimensionnel et obéit à une loi de type Darcy.

On note b l'écart entre les plaques, μ la viscosité dynamique, p la pression et u la vitesse moyenne dans le plan. Pour un fluide newtonien incompressible, un écoulement lent et des parois sans glissement, la relation classique est $u=-\frac{b^2}{12\mu }\mathrm{\nabla }pu=-\backslash frac\{b^2\}\{12\backslash mu\}\backslash nabla\; p$. La vitesse est donc dirigée vers les pressions plus faibles. Loin des points d'injection et dans chaque région fluide, l'incompressibilité conduit à $\mathrm{\Delta }p=0\backslash Delta\; p=0$.

Dans la variante à frontière libre, le domaine occupé par chaque fluide change avec le temps. L'interface est une inconnue du problème, au même titre que la pression. Quand le fluide injecté est moins visqueux que celui qu'il déplace, l'interface peut devenir instable et former des doigts de Saffman-Taylor. Déterminer la pression revient alors, à chaque instant, à résoudre un problème lié au laplacien avec des conditions imposées aux frontières, puis à en déduire le mouvement de l'interface.

On observe une cellule de Hele-Shaw de dessus. Les données sont les suivantes :
— le fluide A est injecté dans la cellule ;
— A est moins visqueux que le fluide B déjà présent ;
— les deux plaques restent parallèles et très rapprochées.

1. Repérez d'abord la limite entre A et B : cette courbe est l'interface libre, car sa position n'est pas connue à l'avance.

2. Suivez l'injection. A gagne du terrain et déplace B ; la pression et la vitesse doivent être déterminées dans des domaines qui changent avec l'interface.

3. Observez le contour. Une petite avancée de A peut s'allonger davantage que ses voisines : l'interface perd sa forme régulière.

4. Identifiez le résultat : les avancées étroites de A dans B sont des doigts de Saffman-Taylor. Pour contrôler la lecture, vérifiez que les doigts appartiennent bien au fluide injecté A et que l'inégalité respecte l'ordre des viscosités annoncé.

Au laboratoire, une cellule transparente rend visible le déplacement de l'interface entre deux fluides. On retient ce dispositif lorsque l'écart entre les plaques est assez faible pour que la vue plane décrive utilement l'écoulement ; sinon, un modèle tridimensionnel est préférable.

Pour étudier une frontière libre, on détermine la pression dans les régions occupées par les fluides, puis on fait évoluer leur interface. Si la frontière du domaine est fixée et que les valeurs au bord sont imposées, un problème de Dirichlet ordinaire permet de déterminer la solution à l'intérieur.

L'analogie avec la loi de Darcy relie aussi la cellule aux écoulements en milieu poreux. La cellule est utile pour une description moyenne ; lorsque le détail des pores commande le phénomène observé, il faut représenter cette microstructure plutôt que la remplacer par deux plaques.

Cellule et problème de Hele-Shaw. La cellule est le dispositif formé par les deux plaques ; le problème est la description mathématique de l'écoulement qui s'y produit. Photographier les plaques montre le dispositif, tandis que déterminer la pression ou l'interface relève du problème.

Milieu poreux et cellule de Hele-Shaw. Les deux modèles partagent une loi de type Darcy, mais leur support diffère. Un milieu poreux contient un réseau de pores ; une cellule de Hele-Shaw contient un espace mince entre deux plaques parallèles.

Problème de Dirichlet et frontière libre. Dans un problème de Dirichlet, la frontière du domaine est donnée et la valeur de la fonction y est imposée. Dans le problème de Hele-Shaw à frontière libre, la position de l'interface doit aussi être trouvée et évolue avec l'écoulement.

Écart non négligeable. Si la distance entre les plaques n'est plus petite devant les dimensions observées dans leur plan, le mouvement ne peut plus être tenu pour bidimensionnel. Des variations importantes à travers l'épaisseur signalent qu'il faut revenir à une description tridimensionnelle.

Viscosités égales. Le cas charnière ${\mu }_A={\mu }_B\backslash mu\_A=\backslash mu\_B$ supprime le contraste de viscosité invoqué pour expliquer les doigts. Une déformation observée dans ce cas ne peut donc pas être attribuée à ce seul contraste ; il faut rechercher une autre cause dans les conditions expérimentales ou le modèle.

Formule de Darcy seule. La relation entre vitesse et gradient de pression ne détermine pas à elle seule une interface mobile. Il faut encore préciser les conditions aux frontières et les règles appliquées sur l'interface ; sans elles, l'évolution n'est pas définie de manière univoque.

Source ou point d'injection. L'équation $\mathrm{\Delta }p=0\backslash Delta\; p=0$ vaut dans une région sans source. Au point où du fluide est injecté, la source doit être représentée par une condition adaptée au lieu d'imposer abusivement la même équation régulière.

Le problème de Dirichlet précise comment une valeur imposée sur une frontière détermine une solution à l'intérieur d'un domaine.

Le laplacien d'une fonction donne le cadre opératoire de l'équation satisfaite par la pression loin des sources.