théorème de Bernoulli - mécanique des fluides -

Imaginez un fluide qui avance dans une conduite horizontale et accélère dans un passage resserré. Son énergie ne disparaît pas : la part liée à sa vitesse augmente, tandis que celle liée à sa pression diminue.

Le théorème de Bernoulli met des nombres sur cet échange. Le long d’une même ligne de courant, il additionne les contributions de la vitesse, de l’altitude et de la pression. Dans les conditions prévues, leur somme reste constante.

Le théorème de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie mécanique d’un fluide le long d’une ligne de courant. Il s’applique ici à un écoulement stationnaire, c’est-à-dire inchangé au cours du temps en chaque point, d’un fluide parfait et incompressible. Les effets visqueux et les transferts thermiques sont négligés.

La pression au point considéré est notée p, la masse volumique du fluide ρ, sa vitesse v, l’accélération de la pesanteur g et l’altitude z. Rapportée à une unité de masse, la somme des trois contributions s’écrit : La constante C est la même entre deux points d’une même ligne de courant lorsque les hypothèses sont satisfaites. Les trois termes s’expriment alors dans la même unité, le joule par kilogramme.

À altitude égale, une hausse de la contribution cinétique v²/2 doit donc être compensée par une baisse de p/ρ. Si l’altitude varie, la pression ne dépend pas de la seule vitesse : la contribution gravitationnelle g·z intervient aussi.

Si un fluide parfait et incompressible s’écoule de façon stationnaire, sans transfert thermique, alors deux points 1 et 2 situés sur une même ligne de courant vérifient : Les lettres p, v et z désignent respectivement la pression, la vitesse et l’altitude aux deux points ; ρ est la masse volumique et g l’accélération de la pesanteur.

On peut employer cette forme du théorème quand l’écoulement est stationnaire, le fluide incompressible et les effets visqueux négligeables. Les deux états comparés doivent appartenir à une même ligne de courant. Il faut connaître, ou pouvoir éliminer, la vitesse, la pression et l’altitude à chacun des deux points, ainsi que la masse volumique.

Dans une conduite où les frottements provoquent une perte d’énergie mécanique mesurable, les deux sommes ne coïncident plus sous cette forme. Il faut alors utiliser un bilan qui représente ces pertes. De même, si la masse volumique varie sensiblement, le modèle incompressible ne convient pas et un bilan adapté à la compressibilité est nécessaire.

Un fluide incompressible de masse volumique ρ = 1 000 kg/m³ traverse une conduite horizontale. Au point 1, sa pression vaut 200 kPa et sa vitesse 2 m/s. Au point 2, sa vitesse atteint 5 m/s. Les deux points sont sur une même ligne de courant, et les effets visqueux sont négligés.

1. Comme les altitudes sont égales, les termes gravitationnels s’annulent dans la comparaison.
2. La relation devient : $p_2=p_1+\frac{\rho }{2}(v_1^2-v_2^2)p\_2=p\_1+\backslash frac\{\backslash rho\}\{2\}(v\_1^2-v\_2^2)$.
3. En pascals, le calcul donne : $p_2=200000+\frac{1000}{2}(2^2-5^2)=189500\mathrm{P}\mathrm{a}p\_2=200\backslash ,000+\backslash frac\{1\backslash ,000\}\{2\}(2^2-5^2)=189\backslash ,500\backslash \; \backslash mathrm\{Pa\}$.
4. La pression au point 2 vaut donc 189,5 kPa.

Le contrôle énergétique est refaisable : au point 1, p₁/ρ + v₁²/2 = 200 + 2 = 202 J/kg ; au point 2, 189,5 + 12,5 = 202 J/kg. La baisse de pression de 10,5 kPa compense exactement la hausse d’énergie cinétique dans ce modèle. La figure décompose ces deux sommes égales.

Dans une conduite, deux mesures de vitesse et d’altitude permettent d’estimer une différence de pression. Si des frottements produisent une perte notable, un bilan avec pertes remplace la forme idéale.

Autour d’un profil aérodynamique, la relation associe localement vitesse et pression le long d’une ligne de courant. Pour déterminer la portance entière, il faut toutefois connaître l’écoulement autour du profil, et pas seulement réciter « plus vite, donc moins de pression ».

Pour contrôler un calcul, on convertit d’abord toutes les pressions dans la même unité, puis on compare les trois contributions énergétiques. Une somme différente entre les deux points signale soit une erreur de données, soit une hypothèse du modèle qui n’est pas satisfaite.

Le théorème de Bernoulli en mécanique des fluides et le théorème de Bernoulli en probabilités. Le premier relie pression, vitesse et altitude dans un écoulement ; le second porte sur la répétition d’épreuves aléatoires. La présence d’une pression ou d’une ligne de courant tranche immédiatement.

Pression et énergie totale. La pression p n’est qu’un terme du bilan. Dans l’exemple, elle diminue alors que la somme p/ρ + v²/2 reste constante : appeler cette somme « pression » ferait perdre la contribution de la vitesse.

Deux lignes de courant différentes. Dans un écoulement qui n’est pas uniforme, la constante peut différer d’une ligne à l’autre. Comparer directement deux points pris sur des lignes distinctes n’est donc pas justifié sans information supplémentaire sur l’écoulement.

Altitude oubliée. La règle « vitesse plus grande, pression plus faible » ne vaut directement qu’à altitude égale dans le bilan considéré. Dès que z₁ ≠ z₂, il faut conserver g·z ; sinon une variation d’altitude peut être attribuée à tort à la vitesse.

Pertes ou compressibilité. Si les effets visqueux ne sont plus négligeables, ou si la masse volumique varie sensiblement, l’égalité idéale n’est plus le bon modèle. Une différence entre les deux sommes constitue un symptôme ; il faut employer un bilan qui inclut le phénomène absent.

Portance résumée trop vite. Bernoulli relie la vitesse et la pression dans un écoulement déjà caractérisé. Il ne fournit pas, à lui seul, la répartition des vitesses autour d’un profil ; cette répartition est nécessaire pour en déduire les pressions puis la portance.

Une étape suivante consiste à comparer la forme idéale de Bernoulli avec un bilan où l’énergie mécanique peut être dissipée ou échangée. Cette extension permet de comprendre pourquoi des mesures réelles dans une conduite ne donnent pas toujours deux sommes égales, tout en conservant la logique d’un bilan énergétique.