cinématique

Imaginez un chariot qui avance sur une piste. Une caméra relève sa place à chaque seconde : la suite de ces positions dessine sa trajectoire. Leur variation indique sa vitesse, puis la variation de cette vitesse indique son accélération.

La cinématique organise ces observations pour raconter précisément le mouvement au cours du temps. Elle décrit ce qui bouge et de quelle manière, sans chercher quelle poussée, quel moteur ou quelle force en est responsable.

La cinématique est la partie de la mécanique qui décrit le mouvement en fonction du temps, indépendamment des forces et des masses qui l'expliquent. Toute description est faite dans un référentiel choisi et avec une origine des temps. La position d'un point matériel est alors donnée par un vecteur position, noté $r(t)r(t)$, où la lettre t désigne le temps. La courbe suivie par ce point est sa trajectoire.

Lorsque la position varie de façon suffisamment régulière, le vecteur vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, et le vecteur accélération est la dérivée de la vitesse : Ces relations donnent la direction et le rythme du mouvement à chaque instant. Sur un intervalle, une vitesse moyenne se calcule à partir du déplacement divisé par la durée ; elle ne doit pas être confondue avec la vitesse instantanée.

La cinématique du point matériel assimile l'objet à un point lorsque sa taille et son orientation ne sont pas utiles. La cinématique du solide indéformable conserve au contraire sa géométrie : elle combine la translation d'un point de référence et la rotation du solide. La dynamique ajoute ensuite les masses et les forces pour rechercher les causes du mouvement.

Un chariot se déplace en ligne droite dans le référentiel de la piste. À l'instant initial, sa position est x₀ = 0 m et sa vitesse est v₀ = 2 m/s. Son accélération, constante et dirigée dans le sens positif, vaut a = 1 m/s². On observe le mouvement pendant t = 4 s.

1. Avec une accélération constante, la position à l'instant t est donnée par $x(t)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}x(t)=x\_0+v\_0\; t+\backslash frac\{1\}\{2\}a\; t^2$.

2. Après 4 s, le calcul donne $x(4)=0+2\times 4+\frac{1}{2}\times 1\times 4^2=16\mathrm{m}x(4)=0+2\backslash times4+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash times1\backslash times4^2=16\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$.

3. La vitesse suit la relation $v(t)=v_0+atv(t)=v\_0+a\; t$. Après 4 s, elle vaut donc $v(4)=2+1\times 4=6\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}v(4)=2+1\backslash times4=6\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$.

4. Le contrôle se refait à mi-parcours temporel : à 2 s, la position vaut 6 m et la vitesse 4 m/s. Entre 2 s et 4 s, la vitesse moyenne vaut (16 − 6) / (4 − 2) = 5 m/s, exactement la moyenne de 4 m/s et 6 m/s pour cette accélération constante.

Le chariot a donc parcouru 16 m en 4 s et sa vitesse finale est 6 m/s. La figure met en regard les trois positions et les trois vitesses, sans invoquer la force qui produit l'accélération.

En robotique, on décrit la position et l'orientation de chaque pièce mobile afin de prévoir le trajet d'un outil. Si les efforts dans les moteurs deviennent la question centrale, il faut passer de la cinématique à la dynamique.

En biomécanique, des points suivis sur une vidéo donnent une trajectoire, puis des vitesses et des accélérations. Lorsque les dimensions et les rotations d'un segment du corps comptent, le modèle du solide indéformable est préférable au point matériel.

En astronomie et en mécanique des fluides, la cinématique sert d'abord à décrire les trajectoires ou les champs de vitesse observés. Le choix du référentiel et de l'échelle de temps doit être annoncé, car une même scène n'a pas les mêmes coordonnées dans deux référentiels différents.

En génie mécanique, la cinématique d'un mécanisme relie les mouvements de ses pièces. Une description par points suffit pour suivre une extrémité ; une description de solide est nécessaire dès que l'orientation de la pièce intervient.

Cinématique et dynamique. La cinématique répond à « quel est le mouvement ? » à partir des positions, vitesses et accélérations. La dynamique répond à « quelles causes produisent ce mouvement ? » en introduisant notamment forces et masses. Calculer la position du chariot à 4 s relève de la cinématique ; déterminer la force nécessaire pour lui donner son accélération relève de la dynamique.

Cinématique et statique. La statique étudie les systèmes en équilibre, tandis que la cinématique décrit des mouvements possibles ou observés. Un chariot dont la position varie au cours du temps appelle une description cinématique ; l'étude des actions qui maintiennent une structure immobile relève de la statique.

Le référentiel n'est pas facultatif. Une position, une trajectoire et une vitesse dépendent du repère choisi. Si deux descriptions d'un même objet ne coïncident pas, il faut d'abord vérifier leurs origines, axes et horloges, puis transformer les coordonnées avant de comparer.

Une vitesse nulle à un instant n'impose pas l'immobilité. Au cas charnière v = 0 m/s, un objet peut changer de sens si son accélération n'est pas nulle. Il faut examiner la position de part et d'autre de l'instant, et non conclure à partir d'une seule valeur.

La dérivation demande de la régularité. Une trajectoire continue peut présenter un angle ou une position mesurée peut contenir un saut. Si la dérivée n'existe pas à l'instant considéré, aucune vitesse instantanée unique n'y est définie ; on emploie alors des vitesses moyennes sur des intervalles ou des dérivées de part et d'autre.

Le point matériel peut perdre une information décisive. Deux solides peuvent avoir le même mouvement de leur centre tout en tournant différemment. Si l'orientation ou le mouvement de plusieurs points du corps est observable, il faut utiliser la cinématique du solide indéformable plutôt qu'un seul point.

La fiche accélération approfondit la grandeur qui mesure la variation de la vitesse au cours du temps.

La fiche translation précise ce mouvement géométrique, composante essentielle de la cinématique d'un solide indéformable.