problème des n corps

Imaginez plusieurs astres qui se déplacent ensemble. Chacun attire tous les autres, tandis que sa propre position modifie à son tour les attractions qu'ils subissent. Le problème des n corps consiste à prévoir cette évolution à partir d'un instant de départ.

Avec deux corps, le mouvement se laisse décrire exactement dans le modèle idéalisé. Dès trois corps, les attractions s'entremêlent et une infime différence au départ peut parfois conduire à des trajectoires très différentes. On calcule alors le mouvement pas après pas.

Le problème des n corps cherche les positions et les vitesses, au cours du temps, de n masses ponctuelles soumises uniquement à leur gravitation mutuelle dans un système isolé. Les données initiales sont la masse, la position et la vitesse de chaque corps à un même instant.

Pour le corps numéroté i, la lettre m_i désigne sa masse et le vecteur r_i sa position. La constante G est la constante de gravitation ; l'indice j parcourt les autres corps. Tant que deux positions ne coïncident pas, la deuxième loi de Newton donne l'accélération suivante : Chaque terme est l'attraction exercée par un autre corps. Comme les positions changent, les directions et les intensités de ces attractions changent aussi.

Le cas n = 2 constitue le problème des deux corps. Le cas n = 3 est le problème des trois corps. Pour n ≥ 3, il n'existe généralement pas de formule analytique exacte donnant toutes les trajectoires. Une intégration numérique approche alors la solution par pas de temps ; une méthode de perturbation exploite plutôt un mouvement dominant auquel s'ajoutent de petites corrections. Certaines conditions initiales produisent en outre une forte sensibilité aux petites variations.

Le modèle réunit six types de données ou de relations. Un entier n fixe le nombre de corps. Chaque corps possède une masse ponctuelle, une position et une vitesse initiales. La loi de gravitation combine les masses et les positions instantanées pour déterminer les forces mutuelles. Enfin, la deuxième loi de Newton transforme la somme des forces sur chaque corps en accélération.

Les masses modulent donc l'intensité des attractions, tandis que les positions en fixent à la fois la direction et la distance. Les vitesses ne changent pas directement les forces newtoniennes, mais elles déplacent les corps et modifient ainsi les forces futures. Ces données et ces relations suffisent à poser le système différentiel qui détermine les trajectoires, au moins tant qu'aucune collision ponctuelle ne rend la force singulière.

Considérons trois corps de même masse m, immobiles à l'instant initial et alignés. La distance positive entre deux voisins vaut d. Leurs abscisses sont donc −d, 0 et d. La lettre G désigne la constante de gravitation. On calcule seulement leurs accélérations à cet instant.

1. Sur le corps de gauche, le corps central produit vers la droite une accélération Gm/d².
2. Le corps de droite se trouve à la distance 2d. Sa contribution vaut donc Gm/(2d)², soit Gm/(4d²).
3. La somme est $\frac{5Gm}{4d^2}\backslash frac\{5Gm\}\{4d^2\}$ vers la droite.

4. Sur le corps central, les deux attractions ont la même intensité et des directions opposées : son accélération initiale est nulle. Par symétrie, le corps de droite a l'accélération $\frac{5Gm}{4d^2}\backslash frac\{5Gm\}\{4d^2\}$ vers la gauche.

Le contrôle consiste à inverser gauche et droite : les valeurs restent identiques et les directions s'inversent. Ce résultat ne vaut qu'à l'instant initial ; dès que les corps bougent, les distances et les attractions doivent être recalculées.

Pour suivre plusieurs corps célestes, on fournit leurs positions et vitesses à un instant donné, puis un logiciel d'intégration numérique avance par petits pas de temps. On réduit le pas ou on change d'intégrateur lorsque les rencontres rapprochées font varier rapidement les forces.

Pour étudier la stabilité du système solaire, on compare des calculs lancés avec des conditions initiales très légèrement différentes. Un écart qui croît fortement signale une sensibilité aux conditions initiales ; une trajectoire unique ne suffit alors pas à décrire la robustesse de la prévision.

Quand un corps domine nettement le mouvement et que les autres interactions restent de petites corrections, une méthode de perturbation peut être préférée. Si aucune interaction ne joue ce rôle secondaire, l'intégration directe du système complet est plus adaptée.

Le problème des trois corps est le cas particulier n = 3. Dès que le système compte quatre masses ou davantage, il relève encore du problème des n corps, mais plus de ce cas particulier.

Le problème des deux corps correspond à n = 2 et admet, dans le modèle newtonien isolé, une résolution analytique exacte. Ajouter un troisième corps qui exerce une attraction mutuelle change la nature générale du problème.

Une intégration numérique n'est pas une formule analytique. La première fournit des valeurs approchées à des instants choisis et dépend du pas de calcul ; la seconde décrit symboliquement le mouvement dans son domaine de validité.

Le seuil n ≥ 3 n'affirme pas qu'aucune solution exacte n'existe. Il signifie qu'il n'existe généralement pas de solution analytique complète pour des conditions initiales quelconques. Des configurations particulières peuvent conserver des symétries exploitables.

Une trajectoire chaotique n'est pas aléatoire : les équations restent déterministes. Le symptôme est qu'une petite variation des conditions initiales peut produire, après un certain temps, un grand écart entre deux calculs. Il faut alors comparer plusieurs conditions proches et annoncer l'horizon de prévision utile.

Le modèle suppose des masses ponctuelles et une interaction newtonienne. Si deux positions coïncident, le dénominateur de la force s'annule et l'équation devient singulière. Une simulation doit détecter cette rencontre et employer un traitement de collision ou un modèle de corps étendus adapté.

Un calcul numérique n'est pas exact par nature. Un résultat qui change sensiblement quand le pas de temps diminue signale une approximation insuffisamment stabilisée. Il faut contrôler la convergence du calcul avant d'interpréter la trajectoire.

Le problème des trois corps isole le premier cas où la dynamique générale cesse d'avoir la simplicité analytique du cas à deux corps.

L'article Du problème des trois corps au chaos mathématique prolonge l'étude vers la sensibilité des trajectoires.

La fiche chaos déterministe précise pourquoi des équations sans hasard peuvent limiter la prévision à long terme.