Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi de l'attraction universelle
La loi de l'attraction universelle, formulée par Isaac Newton et publiée en 1687 dans les Principia Mathematica, énonce que deux masses ponctuelles s'attirent mutuellement avec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance. La même formule s'applique à deux corps sphériques dont la distribution de masse est sphériquement symétrique, lorsque la distance entre leurs centres est au moins égale à la somme de leurs rayons. Elle s'écrit F = G · m₁ · m₂ / r², où F est la force d'attraction, m₁ et m₂ les masses des deux corps, r la distance ainsi définie et G la constante gravitationnelle universelle. Cette loi constitue le fondement de la mécanique céleste classique et permet d'expliquer les trajectoires des planètes, la forme elliptique des orbites décrites par les lois de Kepler, les marées et de nombreux autres phénomènes astronomiques. Les effets dus à des vitesses proches de celle de la lumière relèvent de la relativité restreinte ; lorsque la gravitation exige de tenir compte de la courbure de l'espace-temps, notamment dans un champ gravitationnel intense, la relativité générale d'Einstein remplace le modèle newtonien.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de F, G, des deux masses et de la distance dans la formule.
- Calculer pourquoi une force de 8 N à 10 m devient 2 N à 20 m lorsque les masses restent inchangées.
- Distinguer la loi newtonienne des lois de Kepler et repérer le recours nécessaire à la relativité générale.
En clair
Imaginez deux corps placés à dix mètres l’un de l’autre. Chacun attire l’autre. Si leurs masses augmentent, l’attraction augmente aussi. Si les mêmes corps sont éloignés, elle diminue rapidement : doubler leur distance divise la force par quatre, et non par deux.
Cette relation entre masses, distance et force est la loi de l’attraction universelle. Elle s’applique aussi bien aux corps matériels ordinaires qu’aux mouvements étudiés par la mécanique céleste classique.
Définition
La loi de l’attraction universelle décrit, dans sa forme simple, la force d’attraction mutuelle entre deux masses ponctuelles. Elle s’applique aussi à deux corps sphériques dont la distribution de masse est sphériquement symétrique, lorsque la distance entre leurs centres est au moins égale à la somme de leurs rayons. Appelons F la force d’attraction, m1 et m2 les masses des deux corps, r la distance entre les masses ponctuelles ou, dans le second cas, entre les centres des corps, et G la constante gravitationnelle universelle. Ces grandeurs sont reliées par . La force est donc proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance.
Isaac Newton a formulé cette loi et l’a publiée en 1687 dans les Principia Mathematica. Elle fonde la mécanique céleste classique : elle explique les trajectoires des planètes, la forme elliptique des orbites décrites par les lois de Kepler, les marées et d’autres phénomènes astronomiques. Les effets dus à des vitesses proches de celle de la lumière relèvent de la relativité restreinte. Lorsque la gravitation elle-même exige de tenir compte de la courbure de l’espace-temps, notamment dans un champ gravitationnel intense, la relativité générale d’Einstein remplace ce modèle classique.
Le principe
Considérons deux corps matériels de masses m1 et m2, séparés par une distance r, dans le domaine de la mécanique classique. Notons F la force avec laquelle ils s’attirent mutuellement et G la constante gravitationnelle universelle.
À distance fixée, multiplier l’une des masses par un même facteur multiplie F par ce facteur. À masses fixées et pour r > 0, multiplier la distance par un facteur k > 0 divise F par k2.
Quand l'utiliser
La formule simple s’applique à deux masses ponctuelles ou à deux corps sphériques dont la distribution de masse est sphériquement symétrique. Dans ce second cas, la distance entre leurs centres doit être au moins égale à la somme de leurs rayons. La formule demande leurs deux masses et la distance r entre les masses ponctuelles ou, dans le second cas, entre les centres des corps. La même constante G intervient dans le calcul. La distance r doit être non nulle, puisque son carré figure au dénominateur. Les valeurs doivent être exprimées dans un système d’unités cohérent pour que la force obtenue ait une unité interprétable.
Le résultat appartient au cadre de la mécanique classique. Les effets dus à des vitesses proches de celle de la lumière relèvent de la relativité restreinte. Lorsque la gravitation elle-même exige de tenir compte de la courbure de l’espace-temps, notamment dans un champ gravitationnel intense, la relativité générale d’Einstein devient le modèle de référence. À l’inverse, changer seulement la distance tout en conservant les masses permet de comparer les forces par le rapport des carrés, sans connaître numériquement G.
Un exemple, pas à pas
Deux corps de masses inchangées s’attirent avec une force de 8 N lorsqu’ils sont distants de 10 m. On porte leur distance à 20 m et l’on cherche la nouvelle force.
Données :
• première distance r1 = 10 m ;
• première force F1 = 8 N ;
• seconde distance r2 = 20 m ;
• mêmes masses et même constante G. Le schéma des deux situations rend visible la diminution en carré inverse.
Données :
• première distance r1 = 10 m ;
• première force F1 = 8 N ;
• seconde distance r2 = 20 m ;
• mêmes masses et même constante G. Le schéma des deux situations rend visible la diminution en carré inverse.
1. Comme les masses et G ne changent pas, seuls les carrés des distances interviennent dans la comparaison.
2. Le rapport de la seconde force F2 à la première force F1 vaut .
3. Avec les distances annoncées, .
4. La nouvelle force est donc N.
À 20 m, la force vaut 2 N. Le contrôle consiste à revenir à 10 m : diviser la distance par deux multiplie la force par quatre, et 2 N × 4 redonne bien 8 N.
En pratique
En mécanique céleste classique, la loi relie les masses et leur distance à la force d’attraction. On l’emploie pour étudier les trajectoires planétaires. Si la question porte seulement sur la description elliptique des orbites, les lois de Kepler donnent directement cette forme.
Pour comparer deux configurations des mêmes corps, on calcule d’abord le facteur par lequel la distance change, puis on élève ce facteur au carré. Cette comparaison par rapport évite de rechercher la valeur numérique de G lorsque seules les forces relatives sont demandées.
La loi newtonienne intervient aussi dans l’explication des marées et d’autres phénomènes astronomiques. Les effets dus à des vitesses proches de celle de la lumière relèvent de la relativité restreinte. Lorsque la gravitation exige de tenir compte de la courbure de l’espace-temps, notamment dans un champ gravitationnel intense, la relativité générale devient le cadre approprié.
À ne pas confondre
Lois de Kepler. Elles décrivent notamment la forme elliptique des orbites, tandis que la loi de l’attraction universelle relie une force aux masses et à leur distance. Pour déterminer comment la force varie quand la distance double, on utilise la loi de Newton ; pour identifier la forme de l’orbite, on se tourne vers les lois de Kepler.
La constante G et la force F. G est la constante gravitationnelle universelle ; F est la force calculée pour deux masses et une distance données. Quand la distance passe de 10 m à 20 m sans changer les masses, G reste la même tandis que F passe de 8 N à 2 N.
Limites et pièges
Distance nulle. Pour r = 0, le dénominateur r2 est nul et la formule ne fournit aucune valeur de F. Une division par zéro signale immédiatement ce blocage ; il ne faut pas prolonger le calcul newtonien à ce cas.
Oubli du carré. La force n’est pas inversement proportionnelle à la distance seule. Doubler r ne divise pas F par deux, mais par quatre. Si un calcul donne 4 N au lieu de 2 N dans l’exemple, il faut rétablir r2 au dénominateur.
Hors du régime classique. Les effets dus à des vitesses proches de celle de la lumière relèvent de la relativité restreinte. Lorsque la gravitation exige de tenir compte de la courbure de l’espace-temps, notamment dans un champ gravitationnel intense, le modèle newtonien devient insuffisant et la relativité générale d’Einstein est le cadre approprié.
Pour aller plus loin
lois de Kepler — Relier la force newtonienne à la description elliptique des orbites.
phénomène des marées — Prolonger l’un des phénomènes astronomiques expliqués par l’attraction universelle.
Newton Isaac — Situer l’auteur de la loi publiée en 1687.
Les énigmes de la relativité générale — Explorer la théorie à employer quand le modèle newtonien atteint ses limites.
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