Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
lois de Kepler
Dans l’approximation d’une planète de masse négligeable non perturbée autour du Soleil, les lois de Kepler énoncent que son orbite est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer et que le segment Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux. Elles établissent aussi que, pour de telles planètes orbitant autour du même corps, le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe, ce qui permet de comparer leurs orbites. Leur variation de vitesse au cours du trajet découle de la deuxième loi, celle des aires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle distinct de chacune des trois lois.
- Relier la loi des aires à la variation de vitesse orbitale.
- Calculer une période à partir d'un demi-grand axe dans un même système orbital.
- Éviter de confondre demi-grand axe et distance instantanée au Soleil.
En clair
Imaginez une planète qui tourne autour du Soleil. Sa trajectoire n'est pas un cercle imposant partout la même vitesse : c'est une ellipse, avec le Soleil décalé vers un foyer. Près du Soleil, la planète avance plus vite ; loin de lui, elle ralentit.
Les trois lois de Kepler relient ainsi la forme de l'orbite, le rythme du mouvement et la durée d'un tour. Plus l'orbite est grande, plus la révolution est longue.
Définition
Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler les formula au début du XVIIe siècle après s'être installé à Prague en 1600 auprès de Tycho Brahé. Il exploita notamment les observations minutieuses de Mars, prolongea l'héliocentrisme de Copernic et rompit avec le géocentrisme traditionnel.
La première loi fixe la trajectoire : une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. La deuxième, ou loi des aires, fixe l'évolution de la vitesse : le rayon vecteur reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La planète est donc la plus rapide au périhélie et la plus lente à l'aphélie.
La troisième loi compare les orbites. Dans l'approximation de problèmes à deux corps non perturbés où la masse de chaque planète est négligeable devant celle du Soleil, si la période de révolution est notée T et le demi-grand axe de l'ellipse a, alors le rapport est le même pour les planètes qui tournent autour du Soleil. Dans le cadre newtonien, cette constante dépend de la masse du corps central. Newton expliqua physiquement ces résultats en 1687 par la gravitation universelle.
Le principe
Dans le cadre idéal d'une planète de masse négligeable, en orbite képlérienne non perturbée autour du Soleil : premièrement, la trajectoire est une ellipse dont le Soleil est un foyer ; deuxièmement, le rayon Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux ; troisièmement, le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe.
Pour deux planètes 1 et 2, de périodes T1 et T2 et de demi-grands axes a1 et a2, la comparaison s'écrit : .
Quand l'utiliser
Dans le cadre donné par Kepler, ces lois s'appliquent aux planètes qui tournent autour du Soleil. Il faut connaître la trajectoire pour identifier son demi-grand axe, observer des positions à des instants connus pour tester la loi des aires, et mesurer une période complète pour appliquer la loi des périodes.
La comparaison par suppose des orbites non perturbées, traitées comme des problèmes à deux corps autour du même corps central, avec des masses orbitantes négligeables devant la sienne : mélanger sans précaution deux systèmes orbitaux différents ne fournit pas la constante commune annoncée. De même, une simple portion de trajectoire sans échelle ni durée ne suffit pas à déterminer une période ; il faut compléter les observations plutôt que déduire un tour entier d'un arc isolé.
Un exemple, pas à pas
Deux planètes hypothétiques A et B tournent autour du même Soleil. Dans les unités choisies, A a un demi-grand axe de 1 unité orbitale et une période de 1 an. Le demi-grand axe de B vaut 4 unités orbitales. On cherche sa période.
1. Pour A, le rapport de la troisième loi vaut .
2. Le même rapport vaut 1 pour B, car les deux planètes tournent autour du même Soleil. On obtient donc .
3. Le cube de 4 vaut 64, donc .
4. Une période étant positive, . La période de B est donc de 8 ans. La figure rend visible la relation linéaire entre les grandeurs a3 et T2.
Contrôle : , exactement comme pour A. Les unités choisies servent uniquement à construire cet exemple cohérent.
En pratique
Pour lire une orbite, on repère d'abord l'ellipse et le foyer occupé par le Soleil. Le grand axe est le plus long diamètre de l'ellipse ; le demi-grand axe est sa moitié, mesurée du centre jusqu'au bord dans cette direction. Le point le plus proche est le périhélie ; le point le plus éloigné est l'aphélie. La loi des aires indique alors où la planète se déplace le plus ou le moins vite.
Pour comparer deux planètes du système solaire, on utilise leurs périodes et leurs demi-grands axes. Si une seule période manque, la troisième loi donne cette valeur à partir des trois autres données. Si les planètes ne tournent pas autour du même corps central, cette comparaison directe n'est plus le bon geste.
À ne pas confondre
Héliocentrisme et lois de Kepler. L'héliocentrisme place le Soleil au centre du système planétaire ; les lois de Kepler précisent la forme des orbites, la variation de vitesse et la relation entre taille et période. Dire seulement qu'une planète tourne autour du Soleil ne suffit donc pas à énoncer les trois lois.
Lois de Kepler et gravitation universelle. Les premières décrivent les mouvements planétaires observés. La seconde, établie par Newton en 1687, leur apporte une interprétation physique et permet de les retrouver comme conséquences. Une relation période-demi-grand axe est un énoncé de Kepler ; la force qui l'explique relève de Newton.
Limites et pièges
Ellipse presque circulaire. Une ellipse peut être très peu allongée et sembler circulaire sur un dessin. Le symptôme est que ses deux axes paraissent égaux à la précision du tracé. Dans le cas charnière où les deux demi-axes sont exactement égaux, l'ellipse est un cercle. La première loi écarte donc le cercle comme modèle général des orbites, sans l'exclure comme cas mathématique particulier.
Vitesse constante. Des aires égales en des temps égaux ne signifient pas des distances égales parcourues sur l'orbite. Au périhélie, la planète parcourt un arc plus long pendant une même durée ; à l'aphélie, un arc plus court. Il faut comparer les aires balayées, non les longueurs d'arc.
Mauvaise grandeur orbitale. La troisième loi porte sur le demi-grand axe a, pas sur une distance Soleil-planète prise à un instant quelconque. Pour une orbite elliptique, cette distance varie. Il faut donc déterminer l'axe de l'ellipse avant d'appliquer .
Pour aller plus loin
L'ellipse précise le vocabulaire géométrique de la première loi : foyers, axes et distances caractéristiques.
Les parcours de Kepler Johannes et de Tycho Brahé éclairent le passage des observations de Mars aux lois du mouvement planétaire.
Les fiches Copernic Nicolas et Newton Isaac situent les lois de Kepler entre héliocentrisme et gravitation universelle.
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