Kepler Johannes

En 1600, à Prague, Johannes Kepler rejoint l'astronome Tycho Brahe et accède à ses observations du ciel. En étudiant le mouvement de Mars, il renonce au cercle parfait : la planète suit une ellipse, avec le Soleil placé à l'un de ses foyers.

Kepler montre aussi que Mars ne garde pas la même vitesse tout au long de son trajet. Il réunit ces constats en trois lois qui décrivent la forme de l'orbite, la variation de la vitesse et le lien entre distance au Soleil et durée d'une révolution.

Johannes Kepler (1571-1630) est un mathématicien et astronome allemand de la révolution scientifique du XVII^e siècle. Partisan de l'héliocentrisme de Copernic, il se réfugie à Prague en 1600 auprès de Tycho Brahe. Il exploite ensuite les observations astronomiques de ce dernier, en particulier celles qui concernent Mars.

Dans le modèle képlérien idéal, ses trois lois décrivent les planètes autour du Soleil. La première donne à leur orbite la forme d'une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. La deuxième, ou loi des aires, affirme que le segment reliant le Soleil à une planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La vitesse orbitale varie donc selon la position de la planète. Pour la troisième loi, la période de révolution est notée T et le demi-grand axe de l'ellipse est noté a. Le rapport suivant est alors constant pour les planètes qui tournent autour du Soleil : $T^2\mathrm{/}{a}^3=\text{constante}T^2/a^3=\backslash text\{constante\}$.

Ces relations sont d'abord empiriques : elles résument des observations sans encore fournir leur cause physique. Newton les interprète en 1687 grâce à la gravitation universelle. Kepler travaille aussi sur la géométrie des solides et découvre deux nouveaux polyèdres étoilés réguliers. Une représentation géométrique de l'orbite rend visible la rupture avec le cercle : le Soleil est décentré, au foyer de l'ellipse.

Prenons le cas historique fourni par les observations de Mars. Données : les positions observées de Mars, les archives de Tycho Brahe et l'hypothèse héliocentrique placent le mouvement de la planète autour du Soleil. Pour vérifier la troisième loi avec des valeurs arrondies et pédagogiques, on compare ensuite la Terre (T = 1 an ; a = 1 unité astronomique) à Mars (T = 1,88 an ; a = 1,52 unité astronomique).

1. Kepler confronte le trajet de Mars au modèle de l'orbite circulaire. Les observations l'amènent à abandonner ce cercle au profit d'une ellipse dont le Soleil occupe un foyer.

2. Il considère ensuite le segment qui joint le Soleil à Mars. Pour deux durées égales, les régions balayées ont la même aire ; Mars doit donc avancer à des vitesses différentes selon sa position sur l'ellipse.

3. Dans le modèle képlérien idéal, il relie enfin la durée d'une révolution à la taille de l'orbite : le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe. Avec T en années et a en unités astronomiques, on obtient pour la Terre T²/a³ = 1²/1³ = 1. Pour Mars, 1,88²/1,52³ ≈ 1,01 : l'écart à 1 vient des valeurs arrondies. Le contrôle réunit ainsi les trois résultats : ellipse avec Soleil au foyer, aires égales en temps égaux et rapport T²/a³ approximativement identique pour les planètes autour du Soleil.

Pour décrire la trajectoire d'une planète autour du Soleil lorsque les observations ne s'accordent pas avec une distance constante au Soleil, on teste si un modèle elliptique leur convient mieux que le cercle. Si c'est le cas, le geste utile consiste à repérer les deux foyers de l'ellipse et à placer le Soleil sur l'un d'eux.

Pour comparer le mouvement à deux endroits de l'orbite, on ne compare pas seulement des longueurs parcourues. On examine les aires balayées pendant des durées égales : leur égalité révèle une vitesse plus grande lorsque la planète est plus proche du Soleil.

Pour comparer des planètes du Système solaire, on relève leur période de révolution et le demi-grand axe de leur orbite. Le rapport T²/a³ est alors le bon invariant ; comparer seulement les périodes ferait oublier la différence de taille des orbites.

Lois de Kepler et héliocentrisme de Copernic. L'héliocentrisme place les planètes en mouvement autour du Soleil ; les lois de Kepler précisent la forme de leurs orbites et la manière dont elles sont parcourues. Dire seulement que Mars tourne autour du Soleil ne suffit donc pas à énoncer une loi de Kepler.

Lois de Kepler et gravitation universelle. Les premières sont des relations empiriques tirées des observations astronomiques. La théorie de Newton, formulée en 1687, fournit ensuite un cadre physique pour les interpréter. Une orbite elliptique constatée relève de la description keplérienne ; l'explication par l'attraction relève du cadre newtonien.

Un foyer n'est pas le centre. Sur une ellipse non circulaire, le Soleil est décentré. Le placer au centre rend invisible la variation de distance qui accompagne le mouvement orbital ; il faut repérer l'un des deux foyers.

Aires égales ne signifie pas distances égales. Pendant deux durées égales, les secteurs balayés ont la même aire, mais les arcs parcourus peuvent différer. Conclure à une vitesse constante contredit précisément la deuxième loi.

Le grand axe et le demi-grand axe ne sont pas interchangeables. La troisième loi emploie le demi-grand axe a, soit la moitié du grand axe. Remplacer a par la longueur entière sans adapter la constante multiplie son cube par 8.

Une proportionnalité dépend d'un cadre commun. Dans l'approximation képlérienne, le rapport T²/a³ est constant pour les planètes autour du Soleil ; pour les planètes réelles, cette constance est approximative. La source ne permet pas d'étendre sans précaution la même constante à tout mouvement céleste ; il faut d'abord préciser le corps central considéré.

Copernic Nicolas — Situer l'héliocentrisme que Kepler défend et précise par ses lois orbitales.

ellipse — Approfondir la courbe qui remplace le cercle dans la première loi de Kepler.

polyèdre étoilé — Prolonger l'autre versant des recherches géométriques de Kepler mentionné dans son portrait.