polyèdre étoilé

Imaginez les plans qui portent les faces d’un polyèdre convexe et qui continuent au-delà de leurs arêtes. En choisissant, selon une règle précise, certaines régions délimitées par leurs intersections, on peut faire apparaître des pointes répétées autour du solide : c’est une construction particulière appelée stellation. Son aspect étoilé ne suffit pas, à lui seul, à définir tous les polyèdres étoilés.

Selon la définition précise de la famille considérée, l’étoile vient des faces elles-mêmes ou des intersections produites à l’intérieur du polyèdre. Un polyèdre étoilé régulier doit en outre satisfaire les critères de régularité propres à cette famille.

L’expression « polyèdre étoilé » recouvre plusieurs familles de polyèdres non convexes, selon la convention retenue. Une construction particulière, appelée stellation, part d’un polyèdre convexe : on prolonge les plans porteurs de ses faces, puis on sélectionne certaines cellules délimitées par leurs intersections selon une règle annoncée. La structure obtenue n’est donc plus convexe.

Dans les polyèdres de Kepler, les faces sont elles-mêmes des polygones étoilés. Dans les polyèdres de Poinsot, les faces sont des polygones convexes, tandis que le polyèdre présente des intersections internes. Les polyèdres de Badoureau-Coxeter appartiennent à une famille plus étendue.

Il n’existe pas de définition universellement rigoureuse de la notion. Pour qualifier précisément un objet, il faut donc annoncer le critère retenu : forme des faces, présence d’intersections internes ou construction par prolongement des faces d’un polyèdre convexe.

La construction par stellation met en jeu cinq éléments. Le polyèdre convexe de départ fournit la structure initiale. Les plans porteurs de ses faces sont prolongés au-delà des arêtes. Leurs intersections découpent alors l’espace en cellules. Enfin, une règle de sélection explicite détermine quelles cellules appartiennent à la partie étoilée : les seules faces et arêtes de départ ne suffisent pas à faire ce choix.

La structure dépend des plans prolongés, de leurs intersections et de la règle de sélection retenue. La couleur, l’échelle ou l’orientation d’un dessin n’en changent pas la nature. Le schéma de principe associé montre seulement une forme centrale entourée de pointes ; il n’établit pas à lui seul une stellation géométrique.

Prenons comme polyèdre convexe de départ un octaèdre régulier, avec ses huit faces triangulaires. On va prolonger les plans de ces huit faces et appliquer une règle de sélection bornée, sans se fier à la seule allure obtenue.

1. Repérer les huit faces de l’octaèdre et leurs plans porteurs.
2. Prolonger ces huit plans entiers au-delà des arêtes.
3. Tracer leurs intersections pour repérer, devant chaque face, la cellule tétraédrique qui lui est immédiatement adjacente.
4. Conserver l’octaèdre central et ces huit cellules adjacentes, une par face, sans ajouter les cellules des couches suivantes. La règle de sélection est donc vérifiable : une cellule extérieure est retenue si elle partage une face entière avec l’octaèdre de départ.

Pour contrôler la construction, on doit retrouver l’octaèdre initial, les huit plans prolongés et exactement huit cellules extérieures retenues, chacune accolée à une face de départ. Toute cellule plus éloignée est exclue par la règle. Ce contrôle porte sur la stellation décrite ici ; il ne suffit pas, à lui seul, à classer toutes les familles de polyèdres étoilés.

Pour reconnaître un modèle géométrique, on commence par annoncer la définition de polyèdre étoilé retenue. Une non-convexité régulière et répétée peut orienter l’observation, mais elle ne constitue pas à elle seule un critère nécessaire et suffisant.

Pour classer un polyèdre étoilé, on examine d’abord ses faces. Des faces qui sont des polygones étoilés orientent vers la catégorie de Kepler ; des faces convexes accompagnées d’intersections internes orientent vers celle de Poinsot.

Pour décrire une stellation, on précise le polyèdre convexe de départ, les plans de faces prolongés, leurs intersections et la règle qui sélectionne les cellules conservées. Cette description rend la construction vérifiable.

Polyèdre convexe. Ses faces ne sont pas prolongées pour former la partie étoilée décrite ici. Dès que des prolongements dépassent les arêtes et créent de nouvelles intersections, on quitte le polyèdre convexe initial.

Polygone étoilé. Il s’agit d’une face plane possible, et non du polyèdre entier. Dans la catégorie de Kepler, de tels polygones constituent les faces d’un objet en trois dimensions.

Polyèdre non convexe quelconque. Une indentation isolée ne suffit pas. Le caractère étoilé demandé ici suppose une non-convexité régulière et répétitive qui produit l’aspect en étoile.

Définition non universelle. Deux descriptions peuvent ne pas retenir exactement le même critère. Il faut annoncer si l’on parle de prolongement des faces, de leur forme ou des intersections internes.

Silhouette trompeuse. Un objet qui évoque visuellement une étoile n’est pas suffisamment caractérisé. Il faut vérifier que sa non-convexité est régulière et répétitive, puis préciser la convention de classement utilisée.

Famille réduite à deux catégories. Limiter tous les polyèdres étoilés aux seuls cas de Kepler et de Poinsot écarte la famille plus étendue de Badoureau-Coxeter. Il faut conserver cette troisième catégorie lorsque le périmètre est général.

La fiche polyèdre permet de repartir de l’objet convexe dont les faces et les arêtes servent à la construction par prolongement.

L’article Magnus Wenninger, le « pape » des polyèdres prolonge la découverte par un contenu consacré aux polyèdres.