Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
vitesse aréolaire
La vitesse aréolaire est la dérivée par rapport au temps de l’aire balayée par le rayon vecteur reliant une origine choisie à un point mobile : elle mesure une aire balayée par unité de temps. Elle est constante lorsque le mouvement est soumis à une force centrale dirigée vers cette origine, par conservation du moment cinétique : c’est le principe de la loi des aires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’aire balayée par un rayon vecteur.
- Calculer une vitesse aréolaire avec la composante transversale de la vitesse.
- Relier sa constance à la loi des aires et à la conservation du moment cinétique.
- La distinguer des vitesses linéaire et angulaire.
En clair
Imaginez un trait reliant le Soleil à une planète. Pendant que la planète avance, ce trait tourne et couvre une zone, comme une aiguille qui peindrait la surface derrière elle. La vitesse aréolaire indique combien d’unités d’aire sont ainsi balayées pendant une unité de temps.
Sur une orbite elliptique képlérienne, sous l’effet de l’attraction gravitationnelle du Soleil, la planète se déplace plus vite lorsqu’elle est proche du Soleil et plus lentement lorsqu’elle en est loin. Ces variations se compensent : pendant deux durées égales, le rayon vecteur balaie deux aires égales.
Définition
Soit un point mobile dans un plan et une origine fixe O. On note A(t) l’aire orientée balayée par le rayon vecteur entre un instant initial et l’instant t. Sa dérivée est la vitesse aréolaire orientée ; sa valeur absolue donne la vitesse aréolaire non orientée. Elle s’exprime en unité de longueur au carré par unité de temps, par exemple en AU2/an.
On note r le vecteur allant de O au mobile, v sa vitesse et k le vecteur unitaire normal qui fixe l’orientation du plan. La valeur non orientée de la vitesse aréolaire vaut la moitié de la norme du produit vectoriel de r et v :
La grandeur v⊥ est la composante de la vitesse perpendiculaire au rayon vecteur. Si la force résultante est centrale par rapport à O, le moment cinétique spécifique h = r × v se conserve. La vitesse aréolaire vaut alors la moitié de la norme de h et reste constante. C’est la loi des aires, ou deuxième loi de Kepler, dans le modèle à force centrale.
Un exemple, pas à pas
Considérons un mobile fictif sur une orbite elliptique autour d’un centre O. Aux deux positions choisies, sa vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur. Le schéma traduit les mêmes données en deux triangles dont l’aire graphique est identique.
Données.
À la position proche, le rayon vaut 2 AU et la vitesse transversale 6 AU/an.
À la position éloignée, le rayon vaut 4 AU et la vitesse transversale 3 AU/an.
À la position proche, le rayon vaut 2 AU et la vitesse transversale 6 AU/an.
À la position éloignée, le rayon vaut 4 AU et la vitesse transversale 3 AU/an.
1. À la position proche, on applique la formule .
2. À la position éloignée, le même calcul donne :
3. Les deux vitesses aréolaires sont donc égales à 6 AU2/an. Le contrôle est immédiat : les produits 2 × 6 et 4 × 3 valent tous deux 12 AU2/an, avant la division par deux. La vitesse linéaire a pourtant été divisée par deux lorsque le rayon a doublé.
En pratique
Pour comparer deux positions d’une orbite, on relève la distance au centre et la composante transversale de la vitesse. Si leur produit reste constant, les aires sont balayées au même rythme. Si l’on veut seulement savoir quelle distance le mobile parcourt par seconde, la vitesse linéaire est la grandeur adaptée.
Dans une simulation, on peut aussi tracer le rayon vecteur à intervalles de temps égaux et comparer les secteurs obtenus. Des aires égales signalent une vitesse aréolaire constante ; des secteurs visiblement inégaux invitent à vérifier la force appliquée, l’origine choisie ou le pas de calcul.
Pour tester un modèle à force centrale, la vitesse aréolaire sert de contrôle de cohérence. Elle est préférable à la seule vitesse angulaire lorsque la distance au centre varie, car elle combine cette distance et le mouvement transversal.
À ne pas confondre
Vitesse linéaire. Elle mesure une distance parcourue par unité de temps, tandis que la vitesse aréolaire mesure une aire balayée. Dans l’exemple, les vitesses linéaires 6 AU/an et 3 AU/an diffèrent, mais les deux vitesses aréolaires valent 6 AU2/an.
Vitesse angulaire. Elle mesure la variation de l’angle du rayon vecteur par unité de temps. À distance variable, une même vitesse angulaire ne donne pas une même vitesse aréolaire : cette dernière dépend aussi du carré de la distance à l’origine.
Aire de l’orbite. La vitesse aréolaire concerne l’aire balayée depuis une origine pendant une durée donnée, et non l’aire totale enfermée par la trajectoire. Une portion de trajectoire suffit donc pour la calculer localement.
Limites et pièges
L’origine fait partie de la définition. Changer l’origine change le rayon vecteur et peut changer la vitesse aréolaire. Pour appliquer la loi des aires à une force centrale, l’origine doit être le centre de cette force.
Constante ne signifie pas vitesse linéaire constante. Dans l’exemple, le passage de 2 AU à 4 AU s’accompagne d’un passage de 6 AU/an à 3 AU/an. Le produit rv⊥, et non chaque facteur séparément, reste constant.
La centralité est décisive. Une force centrale conserve le moment cinétique par rapport à son centre et rend la vitesse aréolaire constante. Si une composante de force n’est pas dirigée vers ce centre, il faut recalculer la variation du moment cinétique au lieu d’invoquer automatiquement la loi des aires.
Le cas radial est dégénéré. Si la vitesse est parallèle au rayon vecteur, alors v⊥ = 0 et la vitesse aréolaire est nulle. Le mobile peut pourtant se déplacer : son rayon ne balaie simplement aucune aire à cet instant.
Pour aller plus loin
La loi des aires peut se relire comme une forme géométrique de la conservation du moment cinétique. Le produit vectoriel r × v encode à la fois la distance au centre, la composante transversale du mouvement et l’orientation du balayage. Sa norme donne le double de la vitesse aréolaire.
Cette relation explique pourquoi le calcul reste valable sans commencer par déterminer toute l’équation de l’ellipse. Dès que la force est centrale et que l’origine est correctement placée, la conservation du moment cinétique suffit à établir l’égalité des aires balayées pendant des durées égales.
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