lagrangien

Une masse accrochée à un ressort oscille lorsqu’on l’écarte puis qu’on la lâche. À chaque instant, son mouvement et l’étirement du ressort changent ensemble. Le lagrangien rassemble ces deux aspects en une seule quantité : dans ce cas, l’énergie cinétique moins l’énergie potentielle.

On additionne ensuite le lagrangien au fil du temps pour former l’action. Parmi les mouvements imaginables entre deux états, le mouvement physique rend cette action stationnaire : une petite déformation de la trajectoire ne la modifie pas au premier ordre.

Le lagrangien, noté L, est une fonction scalaire qui encode la dynamique d’un système. En mécanique analytique, ses arguments sont les coordonnées généralisées q_i, leurs vitesses q̇_i et éventuellement le temps t. Pour un système mécanique conservatif courant, L est la différence entre l’énergie cinétique T et l’énergie potentielle V, soit L = T − V ; cette égalité est un modèle fréquent, pas la définition universelle du lagrangien.

L’action S d’une trajectoire comprise entre les instants t₁ et t₂ est l’intégrale temporelle du lagrangien : $S[q]={\int }_{t_1}^{t_2}L(q_i,{\dot{q}}_i,t)dtS[q]=\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}L(q\_i,\backslash dot\; q\_i,t)\backslash ,dt$. Parmi les trajectoires ayant les mêmes configurations aux instants t₁ et t₂, une trajectoire physique rend S stationnaire. Pour chaque coordonnée q_i, cette condition donne l’équation d’Euler-Lagrange : $\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}\right)-\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{q}_i}=0\backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\; q\_i\}\backslash right)-\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_i\}=0$.

En théorie des champs, les variables dynamiques deviennent des champs φ_i dépendant de paramètres d’espace-temps, et l’action intègre une densité lagrangienne sur ces paramètres. Le principe d’action stationnaire s’écrit alors formellement : $\frac{\delta S}{\delta {\varphi }_i}=0,S[{\varphi }_i]=\int \mathcal{L}({\varphi }_i(s),{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }_i(s),s)d^{n}s\backslash frac\{\backslash delta\; S\}\{\backslash delta\; \backslash phi\_i\}=0,\backslash qquad\; S[\backslash phi\_i]=\backslash int\; \backslash mathcal\{L\}(\backslash phi\_i(s),\backslash partial\_\backslash mu\backslash phi\_i(s),s)\backslash ,d^n\; s$, où s désigne l’ensemble de ces paramètres. Un changement admissible de coordonnées peut modifier l’expression de L, mais conduit à des équations physiques équivalentes : c’est en ce sens que le formalisme est indépendant du choix de coordonnées. Ce cadre s’étend notamment à la théorie quantique des champs et à la relativité générale.

Une masse de 1 kg glisse sans frottement et reste attachée à un ressort de raideur 4 N/m. Son écart à l’équilibre est la coordonnée x(t), mesurée en mètres, et sa vitesse est ẋ(t). Au départ, x(0) = 0,50 m et ẋ(0) = 0 m/s.

1. L’énergie cinétique vaut T = ½(1 kg)ẋ² et l’énergie potentielle vaut V = ½(4 N/m)x².
2. Le lagrangien est donc $L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}(1\mathrm{k}\mathrm{g}){\dot{x}}^2-\frac{1}{2}(4\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{m})x^{2}L(x,\backslash dot\; x)=\backslash frac\{1\}\{2\}(1\backslash ,\backslash mathrm\{kg\})\backslash dot\; x^2-\backslash frac\{1\}\{2\}(4\backslash ,\backslash mathrm\{N/m\})x^2$.
3. Ses dérivées sont ∂L/∂ẋ = (1 kg)ẋ et ∂L/∂x = −(4 N/m)x.
4. L’équation d’Euler-Lagrange donne (1 kg)ẍ + (4 N/m)x = 0, soit ẍ + (4 s⁻²)x = 0.
5. La pulsation vaut ω = √(k/m) = 2 rad/s ; avec les données initiales, $x(t)=\mathrm{0,50}\cos (2t)x(t)=0\{,\}50\backslash cos(2t)$.

La masse revient donc à sa position initiale après une période de π s, soit environ 3,14 s. Le contrôle est direct : à t = π s, cos(2π) = 1, donc x = 0,50 m et ẋ = 0 m/s, comme au départ. La figure matérialise les deux positions extrêmes et le retour complet décrit par ce calcul.

Pour un système mécanique conservatif, on écrit les énergies cinétique et potentielle dans les coordonnées adaptées, puis on forme L = T − V. L’équation d’Euler-Lagrange fournit ensuite le mouvement. Une formulation directe par les forces reste souvent plus courte lorsque les coordonnées cartésiennes et les contraintes sont simples.

Lorsque la géométrie impose des contraintes, des angles ou d’autres coordonnées généralisées peuvent remplacer les positions cartésiennes. Le lagrangien devient préférable si ce choix réduit le nombre de variables et incorpore les contraintes dans leur définition.

Pour un champ réparti dans l’espace et le temps, on emploie une densité lagrangienne plutôt qu’une fonction d’un nombre fini de coordonnées. La variation de l’action produit alors les équations d’évolution du champ, selon le même principe stationnaire.

Lagrangien et action. Le lagrangien L décrit le système à un instant, tandis que l’action S est son intégrale sur une trajectoire. Dans l’oscillateur, L varie avec x et ẋ ; c’est l’action complète que la trajectoire rend stationnaire.

Lagrangien et énergie totale. Pour le ressort conservatif, L = T − V alors que l’énergie mécanique vaut E = T + V. À une extrémité où la vitesse est nulle, L = −V mais E = V : les signes tranchent immédiatement.

Lagrangien et hamiltonien. Le lagrangien utilise naturellement les coordonnées et leurs vitesses. Le hamiltonien emploie les coordonnées et les moments conjugués. Pour choisir entre eux, on regarde donc quelles variables portent la description, pas seulement le symbole de l’énergie.

Stationnaire ne signifie pas toujours minimal. L’expression « moindre action » peut tromper : la variation au premier ordre est nulle, mais l’action peut être un minimum, un maximum ou un point selle. Il faut vérifier la seconde variation avant d’affirmer qu’un minimum est atteint.

Le lagrangien n’est pas unique. Ajouter la dérivée temporelle totale d’une fonction des coordonnées et du temps modifie l’action par ses valeurs aux extrémités, sans changer les équations du mouvement lorsque ces extrémités sont fixées. Il faut donc comparer les équations obtenues, pas l’égalité littérale de deux lagrangiens.

Changer de coordonnées change souvent la formule. L’indépendance vis-à-vis des coordonnées signifie que des choix admissibles décrivent la même dynamique, non que L conserve partout la même expression. Il faut transformer ensemble les coordonnées, les vitesses et les conditions aux limites.

Une dérivée absente signale parfois une contrainte. Si L ne permet pas de relier toutes les vitesses à des moments indépendants, les équations ordinaires ne suffisent pas à isoler chaque accélération. Il faut alors identifier les contraintes ou les libertés de jauge avant de poursuivre.

Les espaces de Hilbert, un cadre pour la mécanique quantique présente l’espace mathématique dans lequel s’organisent les états quantiques.

Les singularités en relativité générale prolonge la fiche vers une théorie où l’action gouverne la dynamique de l’espace-temps.