Les singularités en relativité générale

Les équations de la relativité générale (voir encadré) comptent parmi les plus fondamentales de toute la physique moderne. Introduites en 1915 et 1916 par Albert Einstein (1879-1955), on les appelle plus simplement aujourd’hui l’équation de champ d’Einstein, au singulier. Cette dernière offre d’innombrables défis mathématiques redoutables de toute beauté (conjecture du cerceau, stabilité non linéaire de la famille de Kerr, conjecture BKL…), dont les fameuses conjectures relatives au phénomène de censure cosmique (voir plus loin) : l’équation est loin d’avoir révélé tous ses secrets !

L’équation du champ d’Einstein ------------------------------

Dans son apparence la plus classique, l’équation d’Einstein prend la forme suivante :

\text{R}_{\mu, v} - \dfrac{1}{2}\text{R} g_{\mu, v} + \Lambda g_{\mu, v} = \dfrac{8 \pi}{c^4} \text{GT} _{\mu, v}.

Elle fait intervenir R*_μ*_,*_ν le tenseur de Ricci (tenseur d’ordre 2 qui encode la déformation de l’espace-temps) ; R la courbure scalaire (un nombre qui mesure la courbure de l’espace-temps, c’est la trace de R_μ*_,*_ν) ; g_μ*_,*_ν le tenseur métrique, à savoir un tenseur d’ordre 2 qui permet d’associer un produit scalaire à deux vecteurs quelconques en chaque point de l’espace-temps (il est de signature (+, —, —, —), caractéristique de la géométrie lorentzienne) ; T_μ*_,*_ν le tenseur énergie-impulsion, qui permet de caractériser la répartition de masse et d’énergie dans l’espace-temps ; Λ une constante physique fondamentale (la constante cosmologique*), G la constante gravitationnelle ( G = 6,67430 × 10^-¹¹ m³ kg^-¹ s^-² ± 0,00015 × 10^-¹¹ m³ kg^-¹ s^-²) et c la vitesse de la lumière dans le vide (c = 299 792 458 m s^-¹).

L’étude mathématique de l’équation du champ d’Einstein est très ardue. Déjà, comment en saisir la signification ? Les tenseurs sont des applications multilinéaires qui, à des vecteurs et covecteurs d’un espace vectoriel, associent un scalaire. Ce qu’il convient de comprendre, c’est que l’équation du champ d’Einstein permet de connaître le tenseur métrique (*g_μ*_,*_ν, indispensable pour mesurer des longueurs et des angles dans l’espace-temps) étant donnée une distribution de matière et d’énergie (exprimée sous la forme du tenseur énergie—mpulsion T_μ*_,*_ν). La géométrie de l’espace-temps (décrite par g_μ*_,*_ν) est déterminée localement par son contenu en énergie—impulsion (donné par T_μ*_,*_ν) ; l’espace-temps dit à la matière comment se déplacer (via R_μ*_,*_ν) ; la matière dit à l’espace-temps comment se courber (via* R).

Références :

Les équations de la physique moderne. Bibliothèque Tangente 71, 2020.

Vecteurs et espaces vectoriels. Bibliothèque Tangente 65, 2018.

Du point de vue mathématique, un « espace-temps » est une variété lorentzienne muni d’une métrique. Le « chemin le plus court » (pour la métrique considérée) entre deux points de la variété est appelé une géodésique. Enfin, la notion de « courbure » de l’espace-temps étudié est encodée et quantifiée à l’aide d’un tenseur de courbure (ici, R*_μ*_,*_ν). Plus l’espace-temps est « courbe », plus les géodésiques vont s’éloigner ou se rapprocher rapidement. Enfin, si g_μ*_,*_ν(V) > 0, le vecteur tangent V est de genre espace, si g_μ*_,*_ν(V) = 0, il est de genre lumière, et si g_μ*_,*_ν(V) < 0, V est de genre temps*.