Le problème d'évolution en relativité générale

Interview

Dans quel domaine de recherche votre thèse s’inscrit-elle ?

Mes travaux concernent l’étude des solutions des équations d’Einstein de la relativité générale. Les équations d’Einstein sont des équations aux dérivées partielles – plus précisément, des équations d’onde non linéaires – et mon domaine mathématique est l’analyse mathématique. La relativité générale est formulée grâce à des concepts issus de la géométrie, et un certain nombre d’idées et d’outils présents dans ma thèse viennent également des domaines de la géométrie différentielle, riemannienne et lorentzienne.

Pourquoi avez-vous choisi ce sujet ?

J’aime comprendre la physique grâce aux mathématiques : c’est magnifique de pouvoir « voir » le comportement d’un champ électromagnétique ou d’un fluide uniquement à partir d’équations simples, comme les équations de Maxwell ou de Navierâ€’Stokes, et d’outils mathématiques très généraux (transformée de Fourier, calcul différentiel…). Dès mes premières années de prépa à Lyon j’ai aussi voulu comprendre les grands concepts de la géométrie dont j’entendais parler : « variété », « courbure »… Le fait que ces concepts géométriques pouvaient avoir un lien avec la physique m’a toujours fasciné. Mais dans la pratique, ce que j’ai toujours aimé faire, c’était de l’analyse : manipuler des epsilons, déterminer des comportements asymptotiques, étudier des solutions d’équations différentielles. On a vraiment l’impression de « mettre les mains dans le cambouis » ! Sous la direction de Jérémie Szeftel, au Laboratoire Jacques-Louis-Lions de Sorbonne Université (Paris), l’analyse (mathématique) des équations d’Einstein m’a permis de combiner ces trois aspects : la physique mathématique, la géométrie et l’analyse, et c’est pour ça que j’ai choisi ce sujet de thèse.

Comment cette thèse s’insère-t-elle dans vos projets ?

Je suis actuellement chercheur post-doctorant à la Westfälische-Wilhelms Universität Münster (Allemagne). Je travaille maintenant sur les solutions des équations d’Einstein autour des trous noirs de Kerr-anti-de Sitter.

En 1915, le physicien Albert Einstein (1879-1955) propose une nouvelle théorie de la gravitation, qu’il appelle théorie de la relativité générale. La gravitation est l’une des quatre interactions fondamentales de la physique avec l’interaction faible, l’interaction forte et l’interaction électromagnétique.

C’est elle qui est responsable de l’attraction des corps massifs : c’est à cause d’elle qu’une pomme suspendue à un pommier est attirée vers la Terre, ou que la Terre tourne autour du Soleil (voir Mathématiques et Physique, Bibliothèque Tangente 69, 2019).

Jusqu’aux travaux révolutionnaires d’Einstein, la gravitation était décrite grâce aux lois de Newton (voir encadré).

La théorie newtonienne

Dans la théorie de Newton, une masse ponctuelle m génère un champ de gravitation − c’est-à-dire une donnée d’un vecteur en chaque point de l’espace − défini par la formule bien connue suivante :

\overrightarrow{g} = - \dfrac{\text{G}m}{r^3} \; \overrightarrow{r},

où G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³kg⁻¹s⁻² ± 0,00015 × 10⁻¹¹ m³kg⁻¹s⁻2 est une constante universelle appelée constante gravitationnelle et où

\overrightarrow{r}

désigne le vecteur entre la masse ponctuelle m et le point de l’espace où l’on se trouve.

Plus généralement, une distribution de matière non ponctuelle génère un champ gravitationnel

\overrightarrow{g}

qui est le gradient du potentiel gravitationnel Φ satisfaisant l’équation :

\dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 4 \pi \text{G}\rho

où ρ est la densité volumique de masse de la distribution de matière.

Mathématiquement, cette équation aux dérivées partielles est une équation elliptique, où le temps n’intervient pas, et où toute modification de la distribution de matière ρ se répercute sur le potentiel gravitationnel Φ immédiatement en tout point de l’espace.

Dans un champ de gravitation