Le singolarità nella relatività generale

Le equazioni della relatività generale (vedi riquadro) sono tra le più fondamentali di tutta la fisica moderna. Introdotte nel 1915 e nel 1916 da Albert Einstein (1879-1955), oggi vengono più semplicemente chiamate equazione di campo di Einstein, al singolare. Quest’ultima pone innumerevoli e formidabili sfide matematiche di straordinaria bellezza (congettura del cerchio, stabilità non lineare della famiglia di Kerr, congettura BKL…), fra cui le celebri congetture sul fenomeno della censura cosmica (vedi più avanti): l’equazione è ben lungi dall’avere rivelato tutti i suoi segreti!

L’equazione di campo di Einstein ------------------------------

Nella sua forma più classica, l’equazione di Einstein si presenta così:

\text{R}_{\mu, v} - \dfrac{1}{2}\text{R} g_{\mu, v} + \Lambda g_{\mu, v} = \dfrac{8 \pi}{c^4} \text{GT} _{\mu, v}.

Essa coinvolge R*_μ*_,*_ν il tensore di Ricci (tensore di ordine 2 che codifica la deformazione dello spaziotempo); R la curvatura scalare (un numero che misura la curvatura dello spaziotempo, cioè la traccia di R_μ*_,*_ν); g_μ*_,*_ν il tensore metrico, ossia un tensore di ordine 2 che consente di associare un prodotto scalare a due vettori qualsiasi in ogni punto dello spaziotempo (ha segnatura (+, —, —, —), caratteristica della geometria lorentziana); T_μ*_,*_ν il tensore energia-impulso, che caratterizza la distribuzione di massa ed energia nello spaziotempo; Λ una costante fisica fondamentale (la costante cosmologica*), G la costante gravitazionale ( G = 6,67430 × 10^-¹¹ m³ kg^-¹ s^-² ± 0,00015 × 10^-¹¹ m³ kg^-¹ s^-²) e c la velocità della luce nel vuoto (c = 299 792 458 m s^-¹).

Lo studio matematico dell’equazione di campo di Einstein è molto arduo. Anzitutto, come coglierne il significato? I tensori sono applicazioni multilineari che associano uno scalare a vettori e covettori di uno spazio vettoriale. Ciò che occorre comprendere è che l’equazione di campo di Einstein permette di conoscere il tensore metrico (*g_μ*_,*_ν, indispensabile per misurare lunghezze e angoli nello spaziotempo) data una distribuzione di materia ed energia (espressa nella forma del tensore energia—impulso T_μ*_,*_ν). La geometria dello spaziotempo (descritta da g_μ*_,*_ν) è determinata localmente dal suo contenuto di energia—impulso (dato da T_μ*_,*_ν); lo spaziotempo dice alla materia come muoversi (via R_μ*_,*_ν); la materia dice allo spaziotempo come curvarsi (via* R).

Riferimenti:

Les équations de la physique moderne. Bibliothèque Tangente 71, 2020.

Vecteurs et espaces vectoriels. Bibliothèque Tangente 65, 2018.

Dal punto di vista matematico, uno «spaziotempo» è una varietà lorentziana dotata di una metrica. Il «cammino più breve» (rispetto alla metrica considerata) fra due punti della varietà è chiamato geodetica. Infine, la nozione di «curvatura» dello spaziotempo studiato è codificata e quantificata mediante un tensore di curvatura (qui, R*_μ*_,*_ν). Quanto più lo spaziotempo è «curvo», tanto più rapidamente le geodetiche si allontanano o si avvicinano. Infine, se g_μ*_,*_ν(V) > 0, il vettore tangente V è di tipo spazio, se g_μ*_,*_ν(V) = 0, è di tipo luce, e se g_μ*_,*_ν(V) < 0, V è di tipo tempo*.