Intervista a Penrose, Nobel 2020 | Tangente

Tangente: Professore Penrose, grazie per aver accettato di rispondere alle nostre domande. A Tangente, siamo lieti che abbia ricevuto il premio Nobel per la fisica 2020 insieme ad altri due fisici!**

Sir Roger Penrose: Grazie! Questo premio sembra piacere ai matematici. Ci vedo una certa ironia: il premio mi è stato assegnato per aver scoperto che «la formazione dei buchi neri è una previsione robusta della teoria generale della relatività». Ma non è questa la mia scoperta! Ciò che ho dimostrato è che le singolarità *vedi articolo [«Le singolarità nella relatività generale»] sono una previsione robusta della teoria generale della relatività. E per poter affermare di parlare di buchi neri occorre la «censura cosmica» vedi articolo [«Le singolarità nella relatività generale», § È cosmico!]*

Esistono singolarità non generiche di tipo tempo. Nella sua forma forte, la congettura della censura cosmica afferma che le singolarità generiche sono di tipo spazio. Penso ancora che sia vero, ma non ho ancora una dimostrazione!

Sotto i sampietrini, la tassellazione -------------------------

Ah ah! Posso raccontarvi la storia… Ho cominciato con la suddivisione del pentagono. Ero stato invitato a tenere una conferenza in uno dei colleges dell’Università di Londra. Rispondendo alla loro lettera, notai che il loro logo, in un angolo, era un pentagono suddiviso in sei pentagoni più piccoli: uno in ogni angolo e uno al centro. Fra i pentagoni restano vuoti di forma triangolare.

Provai allora a iterare questa procedura di suddivisione dei pentagoni, ancora e ancora. I vuoti si moltiplicavano; dovevo scegliere come riempirli. Vi inserii dei pentagoni. Gli spazi residui erano allora rombi e decagoni stellati, cioè pentagrammi privi dei tratti interni. Chiamai mezzo pentacolo la parte centrale con tre «punte», che in senso stretto rappresenta più di mezzo pentagramma. Insieme ai rombi, era quanto mi serviva per definire un motivo non ripetitivo. In seguito seppi che un giapponese aveva fatto quasi la stessa cosa prima di me, credo, ma aveva scelto un altro modo, infruttuoso, di riempire gli spazi residui.

In seguito, capii che si poteva costruire un puzzle. [È per questo che Roger Penrose brevettò queste tessere.] Per i pezzi mi servivano soltanto tre versioni diverse del pentagono: il pentagono circondato da altri cinque, quello circondato da altri tre e quello circondato da altri due. [Nello schema, infatti, ogni pentagono condivide un lato con due, tre o cinque pentagoni.] Esistono regole di assemblaggio naturali che impongono la configurazione. [Le regole di assemblaggio, o regole locali, sono di due tipi: curve colorate tracciate sulle tessere oppure lati modificati mediante curvature, punte e incavi.] Disponevo allora di una tassellazione aperiodica formata da sei pezzi: le tre versioni del pentagono, il mezzo pentacolo e i due rombi.

Una congettura confutata -----------------------

Avevo sentito parlare di un articolo di Raphael Robinson [nel 1971], sul problema decisionale di Hao Wang: si considerano quadrati con i lati colorati e occorre assemblarli per tassellare il piano in modo che i colori coincidano lato a lato. Esiste un algoritmo per decidere se con questi pezzi sia possibile tassellare il piano? Wang aveva formulato la seguente congettura: ogni insieme di tessere che tassella il piano può tassellarlo periodicamente. Se fosse vera, esisterebbe un algoritmo per stabilire se un insieme finito di tessere possa o meno tassellare il piano. Eppure uno dei suoi studenti, Robert Berger, dimostrò che una simile procedura decisionale non poteva esistere. [La risposta al problema decisionale di Wang è dunque negativa.] Parte dell’argomento di Berger consisteva nel mostrare che esiste un insieme finito di N tessere capace di tassellare il piano solo in modo non periodico. Berger lo aveva dimostrato per N > 100; Robinson mostrò che N = 6 è sufficiente.

di tassellare il piano in modo aperiodico.

Io sapevo farlo con N = 5: la particolare configurazione delle sei tessere mi permetteva di assemblarne tre per crearne due nuove e quindi di eliminare una di esse. Ma potevo fare di meglio? In poco tempo riuscii a farlo con quattro tessere. Potevo fare ancora meglio? Riuscii a scendere a due tessere, riordinando, tagliando e sezionando le quattro forme precedenti. La mia reazione fu: «È ridicolo, che delusione, è così semplice, dev’essere già noto!» Eppure…

Avevo due insiemi di N = 2 tessere che funzionavano. Il primo era costituito dall’aquilone e dalla freccia. I vincoli sono abbastanza evidenti: non bisogna incastrare una freccia nell’aquilone, bensì due. Poi arrivai ai due rombi. Per quest’ultimo insieme, se non si hanno le giuste regole di assemblaggio, nulla spiega che cosa imporrà il carattere aperiodico della tassellazione.

Sfide da affrontare -------------------

Mostrai a John Conway la versione originale e una versione «a forma di uccello» delle mie due tessere preferite, l’aquilone e la freccia; anche lui avrebbe adorato trovare queste forme. Credo che poi trascorse diversi giorni a parlarne con Martin Gardner, e ciò portò a un articolo su Scientific American [Extraordinary non-periodic tiling that enriches the theory of tiles, Scientific American 236, gennaio 1977].

Il matematico dilettante Robert Ammann scrisse poi a Gardner: aveva ottenuto, indipendentemente e in modo del tutto diverso, una tassellazione aperiodica con i due rombi! La tassellazione aperiodica di Ammann–Beenker presenta una simmetria rotazionale di ordine 8 [la tassellazione è invariante per una rotazione di angolo 2π / 8 radianti, ossia 45°]. La vera domanda è: aveva trovato una tassellazione aperiodica con una simmetria rotazionale di ordine 5?

(simmetria rotazionale di ordine 5).

Mio padre possedeva un’opera che raccoglieva due libri di Keplero. In quest’opera sono rappresentate [in Harmonices Mundi, 1619] diverse forme non cristallografiche e diverse tassellazioni. L’immagine più grande, chiamata Aa da Keplero, è un assemblaggio di pentagoni. Avevo visto questo motivo, ma non me ne ero ricordato. Probabilmente, nella mia mente, si era formata l’idea che studiare i pentagoni non fosse una perdita di tempo, che ci fosse ancora qualcosa da farci.

Un giorno ero in visita a Berna, in Svizzera. A quell’epoca c’era grande interesse per i quasicristalli. [Daniel Shechtman riceverà inoltre il premio Nobel per la chimica nel 2011 per i suoi lavori sui quasicristalli condotti in quell’epoca.] Robert Ammann aveva trovato una tassellazione aperiodica con simmetria rotazionale di ordine 8; ce n’erano di ordine 10 e di ordine 5. Hans-Ude Nissen mi annunciò allora di credere di aver trovato una tassellazione aperiodica dotata di una simmetria rotazionale di ordine 12. Mi mostrò le sue immagini. C’era uno spettrogramma, con punti isolati che rappresentavano un fenomeno di diffrazione. I punti sono disposti simmetricamente e presentano una simmetria rotazionale di ordine 12. Una griglia sullo sfondo permette di disegnare una rete di triangoli e quadrati. Mi chiesi dove potessi aver già visto tutto questo. Era nell’opera di Keplero! La figura Ff rappresenta esattamente questa disposizione di punti: un dodecagono con triangoli rivolti verso l’interno, altri rivolti verso l’esterno, e quadrati incastonati fra due triangoli. Nissen aveva davvero scoperto una tassellazione aperiodica con simmetria rotazionale di ordine 12, ma nessuno voleva credergli…

Sì. Si conoscono dunque tassellazioni aperiodiche di ordine 5, 8, 10 e 12. Per l’ordine 12 si usano tre tessere: un dodecagono regolare, un quadrato e un esagono con marcature che impongono l’aperiodicità. [Possono funzionare anche altri insiemi di tre tessere, per esempio un quadrato, un triangolo e un rombo.] Non so se sia possibile creare una tassellazione aperiodica di ordine 12 con soltanto due tessere. Ecco una domanda interessante!

Per quanto riguarda l’intelligenza artificiale (IA), ci si può chiedere: date queste tessere, senza alcun’altra informazione, un’IA può indovinare le regole che impongono una tassellazione aperiodica? È facile da programmare perché le tessere sono disposte secondo una griglia esagonale, a differenza dei pentagoni; basta decidere quali pezzi collocare attorno al dodecagono e in quale ordine. Sarei curioso di sapere se l’IA si bloccherà abbastanza presto oppure riuscirà a trovare un modo per proseguire indefinitamente la tassellazione. Sono certo che gli strumenti automatici di riconoscimento di forme o motivi non siano di alcun aiuto! La tecnica di costruzione della tassellazione consiste infatti nel partire da uno dei tre pezzi, tagliarlo in modo da far comparire soltanto questi tre pezzi dati, «zoomare», poi ricominciare, procedendo così «dall’esterno verso l’interno». *È il processo di deflazione/inflazione descritto nell’articolo [«Le singolarità nella relatività generale» al § La dualità deflazione-inflazione.]* Se si chiede all’IA di procedere «dall’interno verso l’esterno», assemblando metodicamente la tassellazione a partire dai pezzi, non sono sicuro che andrà molto lontano…

Oppure prendete la tassellazione con rombi all’ingresso dell’edificio Andrew-Wiles, a Oxford. È una tassellazione di cui sono piuttosto fiero e che non compare da nessun’altra parte. Le linee curve serpeggiano e producono quattro forme chiuse: cerchi perfetti, «doppi cerchi» [se ne vede uno disposto verticalmente, sul lato destro dell’immagine], «grandi decagoni arrotondati» [se ne intuisce uno in basso a destra, che sporge ampiamente dall’immagine] e un «pentagono arrotondato» [il «piccolo fiore a cinque petali» al centro dell’immagine]. In questa tassellazione si trovano altre curve chiuse che non si intersecano? Pensavo di no. Poi scoprii una quinta forma chiusa, molto complicata, che mi fece cambiare idea. Ora congetturo che «quasi tutte» le curve che compaiono in questa tassellazione siano in realtà chiuse!

E nessuno ha ancora fornito una soluzione alla «congettura ein Stein». Non escludo che una forma simile possa esistere…