Entrevista a Penrose, Nobel 2020 | Tangente

Tangente: Profesor Penrose, gracias por aceptar responder a nuestras preguntas. En Tangente, nos alegramos de que haya recibido el Premio Nobel de Física de 2020, ¡junto con otros dos físicos!**

Sir Roger Penrose: ¡Gracias! Este premio parece agradar a los matemáticos. Encuentro cierta ironía en ello: me conceden el premio por haber descubierto que «la formación de los agujeros negros es una predicción sólida de la teoría general de la relatividad». ¡Pero ese no es mi descubrimiento! Lo que demostré es que las singularidades *véase el artículo [«Las singularidades en relatividad general»] son una predicción sólida de la teoría general de la relatividad. Y hace falta la «censura cósmica» véase el artículo [«Las singularidades en relatividad general», § ¡Es cósmico!]* para poder hablar de agujeros negros.

Existen singularidades no genéricas de tipo temporal. En su forma fuerte, la conjetura de la censura cósmica afirma que las singularidades genéricas son de tipo espacial. Sigo pensando que es cierto, ¡pero aún no tengo una demostración!

Bajo los adoquines, el teselado -------------------------

¡Ja, ja! Puedo contarles la historia… Empecé con la subdivisión del pentágono. Me habían invitado a dar una conferencia en uno de los colleges que formaban parte de la Universidad de Londres. Al responder a su carta, advertí que su logotipo, en una esquina, era un pentágono subdividido en seis pentágonos más pequeños: uno en cada esquina y uno en el centro. Entre los pentágonos quedan huecos de forma triangular.

Entonces intenté iterar este procedimiento de subdivisión de los pentágonos una y otra vez. Los huecos se multiplicaban; tenía que elegir cómo rellenarlos. Coloqué pentágonos en ellos. Los espacios residuales eran entonces rombos y decágonos estrellados, es decir, pentagramas sin los trazos interiores. Llamé semipentáculo a la parte central con tres «puntas», que representa, en sentido estricto, más de medio pentagrama. Junto con los rombos, era lo que necesitaba para definir un motivo no repetitivo. Más tarde supe que un japonés había hecho prácticamente lo mismo que yo, creo que poco antes, pero eligió otra forma, infructuosa, de rellenar los espacios residuales.

Más tarde vi que se podía construir un rompecabezas. [Esta es la razón por la que Roger Penrose patentó estas teselas.] Para las piezas solo necesitaba tres versiones distintas del pentágono: el pentágono rodeado de otros cinco, el pentágono rodeado de otros tres y el pentágono rodeado de otros dos. [En el esquema, en efecto, cada pentágono comparte un lado con dos, tres o cinco pentágonos.] Hay reglas de ensamblaje naturales que fuerzan la configuración. [Las reglas de ensamblaje, o reglas locales, son de dos tipos: trazar curvas de colores en las teselas o modificar los lados de las teselas, curvándolos o añadiéndoles puntas y muescas.] Disponía entonces de un teselado aperiódico formado por seis piezas: las tres versiones del pentágono, el semipentáculo y los dos rombos.

Una conjetura refutada -----------------------

Había oído hablar de un artículo de Raphael Robinson [de 1971], sobre el problema de decisión de Hao Wang: se dan cuadrados con los lados coloreados y hay que ensamblarlos para teselar el plano de modo que los colores coincidan por los bordes. ¿Existe un algoritmo que decida si es posible teselar el plano con esas piezas? Wang formuló la siguiente conjetura: todo conjunto de teselas que tesela el plano puede teselarlo de forma periódica. Si es cierta, entonces existe un algoritmo para determinar si un conjunto finito de teselas puede o no teselar el plano. Ahora bien, uno de sus alumnos, Robert Berger, demostró que no podía existir tal procedimiento de decisión. [Por tanto, la respuesta al problema de decisión de Wang es negativa.] Parte del argumento de Berger consistía en demostrar que existe un conjunto finito de N teselas que solo puede teselar el plano de forma no periódica. Berger lo había demostrado para N > 100; Robinson mostró que N = 6 basta.

teselar el plano de forma aperiódica.

Yo sabía hacerlo con N = 5: la configuración particular de las seis piezas me permitía ensamblar tres de ellas para crear dos nuevas y, por tanto, eliminar una de ellas. Pero ¿podía hacerlo mejor? En poco tiempo conseguí hacerlo con cuatro teselas. ¿Podía hacerlo aún mejor? Logré bajar a dos teselas, reorganizando, recortando y diseccionando las cuatro formas anteriores. Mi reacción fue: «¡Es ridículo, qué decepción, es tan sencillo que ya debe de conocerse!» Y, sin embargo…

Tenía dos conjuntos de N = 2 teselas que funcionaban. El primero que encontré fue el cometa y la flecha. Las restricciones son bastante evidentes: no hay que encajar una flecha en el cometa, sino dos. Después llegué a los dos rombos. En este último caso, si no se tienen las reglas de ensamblaje adecuadas, nada explica qué va a forzar el carácter aperiódico del teselado.

Retos por afrontar -------------------

Mostré a John Conway la versión original y una versión «con forma de pájaro» de mis dos teselas favoritas, el cometa y la flecha; a él mismo le habría encantado encontrar esas formas. Después pasó varios días, creo, hablando de ellas con Martin Gardner, lo que dio lugar a un artículo en Scientific American [Extraordinary non-periodic tiling that enriches the theory of tiles, Scientific American 236, enero de 1977].

El matemático aficionado Robert Ammann escribió después a Gardner: había obtenido, de manera independiente y completamente distinta, ¡un teselado aperiódico con los dos rombos! El teselado aperiódico de Ammann–Beenker presenta una simetría de rotación de orden 8 [el teselado es invariante bajo una rotación de ángulo 2π / 8 radianes, es decir, 45°]. La verdadera pregunta es: ¿había encontrado un teselado aperiódico con una simetría de rotación de orden 5?

(simetría de rotación de orden 5).

Mi padre tenía una obra que reunía dos libros de Kepler. En ella se representan [en Harmonices Mundi, 1619] varias formas no cristalográficas y varios teselados distintos. La imagen más grande, llamada Aa por Kepler, es un ensamblaje de pentágonos. Había visto ese motivo, pero no lo recordaba. Sin duda, en mi mente se había formado la idea de que estudiar los pentágonos no es una pérdida de tiempo, de que aún quedan cosas por hacer con ellos.

Un día estaba de visita en Berna, Suiza. Por entonces había un gran interés por los cuasicristales. [Daniel Shechtman recibiría, por cierto, el Premio Nobel de Química en 2011 por sus trabajos sobre los cuasicristales realizados en aquella época.] Robert Ammann había encontrado un teselado aperiódico con una simetría de rotación de orden 8; los había de orden 10 y de orden 5. Entonces Hans-Ude Nissen me anunció que creía haber encontrado un teselado aperiódico dotado de una simetría de rotación de orden 12. Me mostró sus imágenes. Había un espectrograma, con puntos aislados que representaban un fenómeno de difracción. Los puntos están dispuestos simétricamente y presentan una simetría de rotación de orden 12. Una malla de fondo permite dibujar una red de triángulos y cuadrados. Me pregunté dónde podía haber visto eso antes. ¡Estaba en la obra de Kepler! La figura Ff representa exactamente esa disposición de puntos: un dodecágono con triángulos que apuntan hacia dentro, otros hacia fuera y cuadrados encajados entre dos triángulos. Nissen había descubierto efectivamente un teselado aperiódico con una simetría de rotación de orden 12, pero nadie quería creerle…

Sí. Se conocen, pues, teselados aperiódicos de orden 5, 8, 10 y 12. Para el orden 12 se usan tres teselas: un dodecágono regular, un cuadrado y un hexágono con marcas para forzar la aperiodicidad. [También pueden servir otros conjuntos de tres teselas, por ejemplo un cuadrado, un triángulo y un rombo.] No sé si se puede crear un teselado aperiódico de orden 12 con solo dos teselas. ¡He ahí una cuestión interesante!

En el ámbito de la inteligencia artificial (IA), cabe preguntarse: dadas estas piezas, sin ninguna otra información, ¿puede una IA adivinar las reglas que fuerzan un teselado aperiódico? Es fácil de programar porque las teselas se sitúan en una red hexagonal, a diferencia de los pentágonos; basta con decidir qué piezas colocar alrededor del dodecágono y en qué orden. Me gustaría saber si la IA se bloqueará bastante pronto o si logrará encontrar una manera de continuar indefinidamente el teselado. ¡Estoy seguro de que las herramientas automáticas de reconocimiento de formas o motivos no ayudan en nada! La técnica de construcción del teselado consiste, en efecto, en partir de una de las tres piezas, recortarla de modo que solo aparezcan esas tres piezas dadas, «ampliar» y volver a empezar, avanzando así «del exterior hacia el interior». *Es el proceso de deflación/inflación descrito en el artículo [«Las singularidades en relatividad general» en el § La dualidad deflación-inflación.]* Si se pide a la IA que avance «del interior hacia el exterior», ensamblando metódicamente el teselado a partir de las piezas, no estoy seguro de que llegue muy lejos…

O tomen el teselado con rombos de la entrada del edificio Andrew-Wiles, en Oxford. Es un teselado del que estoy bastante orgulloso, y que no aparece en ningún otro lugar. Las líneas curvas serpentean y producen cuatro formas cerradas: círculos perfectos, «círculos dobles» [se ve uno en sentido vertical, en el lado derecho de la imagen], «grandes decágonos redondeados» [se adivina uno abajo a la derecha, que sobresale ampliamente de la imagen] y un «pentágono redondeado» [la «pequeña flor de cinco pétalos» en el centro de la imagen]. ¿Hay otras curvas cerradas que no se corten en este teselado? Yo pensaba que no. Después descubrí una quinta forma cerrada, muy complicada, que me hizo cambiar de opinión. ¡Ahora conjeturo que «casi todas» las curvas que aparecen en este teselado son en realidad cerradas!

Y nadie ha aportado aún una solución a la «conjetura ein Stein». No descarto que exista tal forma…