Las singularidades en relatividad general

Las ecuaciones de la relatividad general (véase el recuadro) figuran entre las más fundamentales de toda la física moderna. Introducidas en 1915 y 1916 por Albert Einstein (1879-1955), hoy se las denomina más sencillamente ecuación de campo de Einstein, en singular. Esta plantea innumerables y formidables desafíos matemáticos de gran belleza —la conjetura del aro, la estabilidad no lineal de la familia de Kerr, la conjetura BKL…—, entre ellos las célebres conjeturas relativas al fenómeno de la censura cósmica (véase más adelante): ¡la ecuación está lejos de haber revelado todos sus secretos!

La ecuación de campo de Einstein ------------------------------

En su forma más clásica, la ecuación de Einstein adopta la forma siguiente:

\text{R}_{\mu, v} - \dfrac{1}{2}\text{R} g_{\mu, v} + \Lambda g_{\mu, v} = \dfrac{8 \pi}{c^4} \text{GT} _{\mu, v}.

En ella intervienen R*_μ*_,*_ν, el tensor de Ricci (tensor de orden 2 que codifica la deformación del espacio-tiempo); R, la curvatura escalar (un número que mide la curvatura del espacio-tiempo; es la traza de R_μ*_,*_ν); g_μ*_,*_ν, el tensor métrico, es decir, un tensor de orden 2 que permite asignar un producto escalar a cada par de vectores en cada punto del espacio-tiempo (tiene signatura (+, —, —, —), característica de la geometría lorentziana); T_μ*_,*_ν, el tensor energía-momento, que permite caracterizar la distribución de masa y energía en el espacio-tiempo; Λ, una constante física fundamental (la constante cosmológica*); G, la constante gravitatoria ( G = 6,67430 × 10^-¹¹ m³ kg^-¹ s^-² ± 0,00015 × 10^-¹¹ m³ kg^-¹ s^-²), y c, la velocidad de la luz en el vacío (c = 299 792 458 m s^-¹).

El estudio matemático de la ecuación de campo de Einstein es muy arduo. Para empezar, ¿cómo captar su significado? Los tensores son aplicaciones multilineales que asocian un escalar a vectores y covectores de un espacio vectorial. Lo que hay que entender es que la ecuación de campo de Einstein permite conocer el tensor métrico (*g_μ*_,*_ν, indispensable para medir longitudes y ángulos en el espacio-tiempo) dada una distribución de materia y energía (expresada mediante el tensor energía-momento T_μ*_,*_ν). La geometría del espacio-tiempo (descrita por g_μ*_,*_ν) está determinada localmente por su contenido de energía-momento (dado por T_μ*_,*_ν); el espacio-tiempo le dice a la materia cómo desplazarse (mediante R_μ*_,*_ν); la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse (mediante* R).

Referencias:

Las ecuaciones de la física moderna. Bibliothèque Tangente 71, 2020.

Vectores y espacios vectoriales. Bibliothèque Tangente 65, 2018.

Desde el punto de vista matemático, un «espacio-tiempo» es una variedad lorentziana provista de una métrica. El «camino más corto» (para la métrica considerada) entre dos puntos de la variedad se llama geodésica. Por último, la noción de «curvatura» del espacio-tiempo estudiado se codifica y cuantifica mediante un tensor de curvatura (aquí, R*_μ*_,*_ν). Cuanto más «curvo» es el espacio-tiempo, más rápidamente se alejan o se acercan las geodésicas. Por último, si g_μ*_,*_ν(V) > 0, el vector tangente V es de tipo espacial; si g_μ*_,*_ν(V) = 0, es de tipo nulo; y si g_μ*_,*_ν(V) < 0, V es de tipo temporal*.