El dual del rectángulo --------------------
Estas son algunas propiedades del rombo:
1\. todos los lados tienen la misma longitud;
2\. los ángulos opuestos tienen la misma medida;
3\. las diagonales se cortan formando ángulos iguales;
4\. es un paralelogramo con dos lados consecutivos de la misma longitud;
5\. los ejes de simetría bisecan los ángulos opuestos;
6\. posee una circunferencia inscrita: su centro equidista de los lados.
Comparemos con algunas características del rectángulo:
1\. todos los ángulos tienen la misma medida;
2\. los lados opuestos tienen la misma longitud;
3\. las diagonales tienen la misma longitud;
4\. es un paralelogramo con dos ángulos consecutivos de la misma medida;
5\. los ejes de simetría bisecan los lados opuestos;
6\. posee una circunferencia circunscrita: su centro equidista de los vértices.
En las propiedades del rombo, sustituya las palabras «lado» y «longitud» por «ángulo» y «medida», y viceversa: recuperará las del rectángulo, salvo la última, que es algo más sutil. Por esta analogía, se dice que el rombo es el dual del rectángulo (el cuadrado es su propio dual). Esta dualidad, que puede definirse para los cuadriláteros, es válida en geometría euclidiana.
No debe confundirse esta dualidad con la dualidad entre puntos y rectas propia de la geometría proyectiva (véase Tangente 189, 2019), ilustrada por: «por dos puntos distintos pasa una única recta» y «dos rectas distintas se cortan en un único punto».
En los teselados de Penrose ---------------------------
Al buscar teselados con rombos, enseguida encontramos motivos periódicos (como cualquier cuadrilátero, un rombo cualquiera permite teselar el plano). También existen teselados de Penrose (véase Tangente 198, 2021), en particular los de tipo P3. Se trata de teselados construidos con dos rombos particulares (uno «delgado», cuyo ángulo menor mide 36°, y otro «grueso», cuyo ángulo menor mide esta vez 72°) relacionados con el número áureo.
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Un teselado de Penrose de tipo P3.

De hecho, existe una infinidad de estos teselados. Fueron descubiertos en la década de 1970 por el matemático y físico británico Roger Penrose, nacido en 1931 y premio Nobel de Física en 2020 (véase nuestro dossier en Tangente 198). Todos estos teselados son no periódicos, es decir, no existe ninguna traslación que los deje invariantes.
Además de su interés artístico, estos teselados sirven de modelo para los cuasicristales: son sólidos que se comportan como los cristales clásicos, pero cuya estructura no es periódica. Este descubrimiento, en 1982, valió a su autor, el científico israelí Dan Shechtman, nacido en 1941, el premio Nobel de Química en 2011.
Hex: hexágonos sobre un rombo ----------------------------------
El juego Hex fue creado en 1942 por el físico danés Piet Hein (1905‒1996) con el nombre de Polygone. Posteriormente fue reinventado de forma independiente en 1948 por el matemático estadounidense John Nash (1928‒2015), quien lo dio a conocer en el ámbito científico. Desde 2011, el juego es editado por el Comité Internacional de Juegos Matemáticos (CIJM).

El tablero de Hex.

Los dos jugadores, Blanco y Negro, colocan alternativamente sus fichas en un tablero de 8 × 8 con forma de rombo, cuyas celdas forman una red de malla hexagonal: cada casilla que no pertenece al borde del tablero tiene seis casillas vecinas con las que comparte un lado. No hay ni capturas ni desplazamientos de fichas. Gana la partida el primer jugador que haya unido los dos bordes de su color mediante una línea continua formada por fichas de su color. Una de las características de Hex es que no puede haber empate.
¡Encuentre Hex y decenas de juegos más en Mathématiques et Jeux de société, Bibliothèque Tangente 83, 2023!