Brevi sui rombi - Breve nota matematica | Tangente

Il duale del rettangolo --------------------

Ecco alcune proprietà del rombo:

1\. tutti i lati hanno la stessa lunghezza;

2\. gli angoli opposti hanno la stessa ampiezza;

3\. le diagonali si intersecano formando angoli della stessa ampiezza;

4\. è un parallelogramma con due lati consecutivi della stessa lunghezza;

5\. gli assi di simmetria bisecano gli angoli opposti;

6\. possiede una circonferenza inscritta: il suo centro è equidistante dai lati.

Confrontiamo queste proprietà con alcune caratteristiche del rettangolo:

1\. tutti gli angoli hanno la stessa ampiezza;

2\. i lati opposti hanno la stessa lunghezza;

3\. le diagonali hanno la stessa lunghezza;

4\. è un parallelogramma con due angoli consecutivi della stessa ampiezza;

5\. gli assi di simmetria bisecano i lati opposti;

6\. possiede una circonferenza circoscritta: il suo centro è equidistante dai vertici.

Nelle proprietà del rombo, sostituite le parole «lato» e «lunghezza» con «angolo» e «ampiezza», e viceversa: ritroverete quelle del rettangolo, tranne l’ultima, che è un po’ più sottile. Per questa analogia, si dice che il rombo è il duale del rettangolo (il quadrato è duale di sé stesso). Questa dualità, definibile per i quadrilateri, vale nella geometria euclidea.

Questa dualità non va confusa con quella che si incontra nella geometria proiettiva (vedi Tangente 189, 2019) tra punti e rette, illustrata da: «per due punti distinti passa una sola retta» e «due rette distinte si intersecano in un solo punto».

Nelle tassellazioni di Penrose ---------------------------

Cercando tassellazioni con rombi, si trovano subito motivi periodici (come ogni quadrilatero, un rombo qualunque permette di tassellare il piano). Esistono anche le tassellazioni di Penrose (vedi Tangente 198, 2021), in particolare quelle di tipo P3. Si tratta di tassellazioni costruite con due rombi particolari (uno «sottile», il cui angolo minore misura 36°, e uno «spesso», il cui angolo minore misura invece 72°), legati al numero aureo.

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In realtà, esistono infinite tassellazioni di questo tipo. Furono scoperte negli anni Settanta dal matematico e fisico britannico Roger Penrose, nato nel 1931 e premio Nobel per la fisica nel 2020 (vedi il nostro dossier in Tangente 198). Queste tassellazioni sono tutte non periodiche, ossia non esiste alcuna traslazione che le lasci invarianti.

Oltre al loro interesse artistico, queste tassellazioni servono da modello per i quasicristalli: solidi che si comportano come i cristalli classici, ma la cui struttura non è periodica. Questa scoperta, compiuta nel 1982, valse al suo autore, lo scienziato israeliano Dan Shechtman, nato nel 1941, il premio Nobel per la chimica nel 2011.

Hex: esagoni su un rombo ----------------------------------

Il gioco Hex fu creato nel 1942 dal fisico danese Piet Hein (1905‒1996) con il nome di Polygone. Fu poi reinventato indipendentemente nel 1948 dal matematico americano John Nash (1928‒2015), che lo fece conoscere nell’ambiente scientifico. Dal 2011 il gioco è pubblicato dal Comité international des jeux mathématiques (CIJM).

I due giocatori, Bianco e Nero, collocano alternativamente le proprie pedine su un tavoliere rombico formato da 8 × 8 celle, disposte in una rete a maglie esagonali: ogni casella non situata sul bordo del tavoliere ha sei caselle adiacenti lungo un lato. Non si catturano né si spostano pedine. Vince la partita il primo giocatore che collega i due lati del proprio colore con una linea continua formata da pedine del suo colore. Una delle caratteristiche di Hex è che non può esserci patta.

Scoprite Hex e decine di altri giochi in Mathématiques et Jeux de société, Bibliothèque Tangente 83, 2023!