force vive - physique -

Imaginez une boule deux fois plus rapide. Sa quantité de mouvement est multipliée par deux, mais l'effet lié au carré de sa vitesse est multiplié par quatre. C'est cette seconde manière de mesurer le mouvement que Leibniz nommait force vive : la masse du corps multipliée par le carré de sa vitesse.

Dans le vocabulaire actuel, cette grandeur n'est pas une force. Elle vaut deux fois l'énergie cinétique. Ce changement de langage éclaire une controverse ancienne qui a contribué à faire émerger la notion moderne d'énergie mécanique.

La force vive, ou vis viva, est la grandeur historique par laquelle Leibniz mesurait le mouvement d'un corps. Si la masse du corps est notée m et la valeur de sa vitesse v, elle est donnée par $V=m{v}^{2}V=mv^2$. Elle dépend donc linéairement de la masse et quadratiquement de la vitesse.

Cette mesure s'opposait, dans la querelle des forces vives, à la quantité défendue par Descartes, exprimée par le produit mv. Leibniz distinguait aussi la force vive du corps en mouvement et la « force morte », tendance au mouvement d'un corps au repos soumis à une contrainte, aujourd'hui rapprochée de l'énergie potentielle. La résolution de la controverse fut progressive au XVIII^e siècle et participa à l'élaboration de l'énergie mécanique et de sa conservation.

Avec les conventions modernes, l'énergie cinétique est notée E_c et vérifie $E_c=\frac{1}{2}m{v}^{2}E\_c=\backslash frac\{1\}\{2\}mv^2$. Ainsi, $V=2E_{c}V=2E\_c$. Le facteur ½ relève de la définition moderne de l'énergie cinétique ; il ne change pas la dépendance en mv². Le mot « force » est ici historique : la force vive a la dimension d'une énergie, pas celle d'une force au sens de la mécanique contemporaine.

Un mobile de masse 2 kg se déplace d'abord à 1,5 m/s, puis à 3 m/s. La masse reste identique et la vitesse est doublée. La comparaison rend visible la différence entre une grandeur proportionnelle à v et une grandeur proportionnelle à v².

1. À 1,5 m/s, le produit de la masse par la vitesse vaut $mv=2\times \mathrm{1,5}=3mv=2\backslash times1\{,\}5=3$ kg·m/s. La force vive vaut $V=2\times {\mathrm{1,5}}^2=\mathrm{4,5}V=2\backslash times1\{,\}5^2=4\{,\}5$ J.

2. À 3 m/s, le produit de la masse par la vitesse vaut $mv=2\times 3=6mv=2\backslash times3=6$ kg·m/s. La force vive vaut $V=2\times 3^2=18V=2\backslash times3^2=18$ J.

3. Le premier produit a doublé, de 3 à 6 kg·m/s, tandis que la force vive a quadruplé, de 4,5 à 18 J. L'énergie cinétique moderne vaut la moitié de la force vive : elle passe donc de 2,25 J à 9 J. Le contrôle consiste à vérifier que 18 J est bien le double de 9 J.

Dans un texte de Leibniz ou d'histoire des sciences, l'expression « force vive » se lit comme une mesure en mv². Pour la traduire en vocabulaire actuel, on prend la moitié de sa valeur afin d'obtenir l'énergie cinétique.

Lorsqu'un problème moderne demande l'effet d'un changement de vitesse, le carré est le bon indice : à masse constante, une vitesse doublée multiplie l'énergie cinétique par quatre. Si le problème porte sur une impulsion ou un bilan de quantité de mouvement, il faut employer la quantité de mouvement, qui dépend de la vitesse au premier degré.

Pour comparer un calcul historique à un résultat contemporain, il faut d'abord regarder la convention adoptée. Une valeur de force vive de 18 J correspond à une énergie cinétique moderne de 9 J pour le même corps et la même vitesse.

Force vive et force mécanique. Une force moderne mesure une interaction capable de modifier le mouvement ; la force vive historique mesure un état de mouvement par mv². Pour le mobile de 2 kg à 3 m/s, 18 J est une énergie, et non une force exprimée en newtons.

Force vive et quantité de mouvement. La quantité de mouvement moderne est vectorielle et proportionnelle à la vitesse, tandis que la force vive est scalaire et proportionnelle au carré de sa valeur. Doubler la vitesse du mobile fait passer leurs valeurs respectives de 3 à 6 kg·m/s et de 4,5 à 18 J.

Force vive et énergie potentielle. La première est attachée au mouvement. La « force morte » de Leibniz décrivait au contraire une tendance au mouvement sous contrainte, que l'on rapproche aujourd'hui de l'énergie potentielle. Un corps momentanément immobile a une force vive nulle, mais peut avoir de l'énergie potentielle.

Vitesse nulle. Si v vaut 0 m/s, alors mv² vaut 0 J. Cela ne prouve pas que le corps ne possède aucune énergie : une énergie potentielle peut subsister selon sa position ou la contrainte exercée.

Facteur ½. Employer directement mv² comme énergie cinétique moderne double le résultat attendu. Pour le mobile à 3 m/s, la force vive historique vaut 18 J, mais l'énergie cinétique définie aujourd'hui vaut 9 J. Il faut identifier la convention avant de comparer deux valeurs.

Conservation mal formulée. La querelle historique ne donne pas une règle selon laquelle mv² serait toujours conservé pour chaque corps. Un bilan moderne précise le système étudié et les interactions ; il distingue notamment la conservation de l'énergie mécanique de celle de la quantité de mouvement.

Le mot « force ». Lire ce terme avec son sens contemporain conduit à chercher une valeur en newtons. Dans vis viva, il faut reconnaître un vocabulaire historique et convertir la grandeur en énergie cinétique lorsque le contexte exige la convention moderne.

La querelle des forces vives montre qu'une même situation mécanique peut faire intervenir plusieurs grandeurs conservées sans que celles-ci soient interchangeables. Son issue invite à étudier séparément la quantité de mouvement, l'énergie cinétique, l'énergie potentielle et l'énergie mécanique, puis à préciser pour chacune le système et les conditions de conservation.