Logique et ensemblesThéorème · Glossaire
théorème de Koenig - mécanique -
Pour un système de points matériels de masses constantes observés dans un même référentiel, les théorèmes de Koenig décomposent l'énergie cinétique et le moment cinétique en une part due au mouvement du centre de masse et une part interne mesurée autour de ce centre. Ils permettent ainsi de séparer exactement le mouvement d'ensemble des mouvements relatifs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Séparer la translation du centre de masse et le mouvement interne.
- Lire les formules de l’énergie cinétique et du moment cinétique.
- Vérifier les deux décompositions sur un système de deux masses.
- Repérer les hypothèses, les cas limites et les théorèmes homonymes.
En clair
Imaginons deux masses qui avancent ensemble tout en tournant l’une autour de l’autre. Leur mouvement combine alors un déplacement d’ensemble, visible par le trajet de leur centre de masse, et un mouvement interne autour de ce centre.
Les théorèmes de Koenig séparent précisément ces deux parts. Pour l’énergie cinétique comme pour le moment cinétique, ils isolent ce qui vient du déplacement global et ce qui subsiste quand on observe le système depuis son centre de masse.
Définition
Les théorèmes de Koenig concernent un système de points matériels de masses constantes, étudié en mécanique classique dans un référentiel donné. La masse totale est notée . Le centre de masse est noté G, sa vitesse est , et la vitesse du point i par rapport à G est .
Le premier théorème décompose l’énergie cinétique totale en énergie de translation du centre de masse et énergie cinétique relative au centre de masse. Le second décompose le moment cinétique par rapport à un point O en moment du centre de masse par rapport à O et moment cinétique interne autour de G.
Cette séparation ne suppose pas que le système soit rigide : les points peuvent se déplacer les uns par rapport aux autres. Elle repose sur la propriété du centre de masse selon laquelle la somme des quantités de mouvement relatives est nulle. Les deux décompositions décrivent donc exactement, à un instant donné, une part collective et une part interne.
Le principe
Si des points matériels de masses constantes sont observés dans un même référentiel, alors leur énergie cinétique totale Ec est la somme de l’énergie du centre de masse et de l’énergie Ec/G calculée avec les vitesses relatives à G :
Pour un point O, le moment cinétique total se décompose de même. Le vecteur allant de O vers G est , tandis que repère le point i depuis G :
La somme finale est le moment cinétique interne autour de G. Dans les deux théorèmes, les termes croisés disparaissent parce que la quantité de mouvement relative totale est nulle.
Quand l'utiliser
La décomposition s’applique à un ensemble de points matériels dont les masses sont constantes. Il faut connaître leurs positions et leurs vitesses dans un même référentiel, puis calculer la masse totale, la position de G et la vitesse de G. Les grandeurs internes utilisent exclusivement les positions et vitesses relatives à ce centre.
Les deux termes d’énergie sont exprimés dans la même unité, le joule. Les deux termes de moment cinétique sont calculés par rapport au même point O et dans le même référentiel, en kilogrammes mètres carrés par seconde.
Si la masse du système varie parce que de la matière entre ou sort, la démonstration fondée sur des masses constantes ne s’emploie pas telle quelle. Il faut alors traiter le système ouvert avec un bilan de masse et de quantité de mouvement adapté.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère plan d’origine O, deux points de 1 kg sont placés en (1 m, 0) et (3 m, 0). Le premier est immobile ; le second monte à 2 m/s. Les données sont donc m1 = m2 = 1 kg, m/s et m/s.
1. La masse totale vaut 2 kg. Le centre de masse est en (2 m, 0) et monte à 1 m/s.
2. L’énergie totale vaut J.
3. La translation de G apporte 1 J. Les vitesses relatives valent (0, −1) et (0, 1) m/s ; elles apportent ensemble 1 J. On retrouve bien 2 J.
2. L’énergie totale vaut J.
3. La translation de G apporte 1 J. Les vitesses relatives valent (0, −1) et (0, 1) m/s ; elles apportent ensemble 1 J. On retrouve bien 2 J.
4. Pour le moment cinétique autour de O, la part portée par G vaut 4 kg·m2/s et la part interne vaut 2 kg·m2/s. Leur somme donne 6 kg·m2/s, comme le calcul direct sur les deux points. La figure matérialise les positions et les trois vitesses utilisées ; chaque bilan peut ainsi être refait sans elle.
En pratique
Pour calculer l’énergie d’un ensemble de particules, on peut additionner directement toutes les énergies individuelles. La décomposition de Koenig est préférable lorsque le mouvement du centre de masse est connu et que les mouvements internes se décrivent plus simplement autour de G.
Pour étudier un solide ou un assemblage, la séparation distingue immédiatement la translation globale de la rotation ou des déformations internes. Si les vitesses individuelles sont déjà disponibles et peu nombreuses, le calcul direct reste souvent le contrôle le plus rapide.
Pour un moment cinétique, le choix du point O compte. On fixe d’abord ce point et le référentiel, puis on conserve les mêmes choix dans les deux termes ; changer de point au milieu du calcul rend la somme incohérente.
À ne pas confondre
Le théorème de Koenig en mécanique ne doit pas être confondu avec le théorème de Julius König en théorie des ensembles ni avec celui de Dénes König en théorie des graphes. Le critère décisif est l’objet étudié : masses, vitesses et centre de masse signalent ici la mécanique.
Le centre de masse n’est pas nécessairement un point matériel du système. Dans l’exemple, G se trouve entre les deux masses ; il sert à décomposer le mouvement même si aucune particule n’y est placée.
Limites et pièges
Un système réduit à un seul point est un cas charnière : sa vitesse relative à G est nulle, donc l’énergie et le moment cinétique internes valent exactement zéro. La décomposition reste vraie, mais toute la grandeur appartient au mouvement du centre de masse.
Une énergie interne n’est pas forcément une énergie de rotation rigide. Si les distances entre points changent, elle comprend aussi leur mouvement de déformation. Il faut employer les vitesses relatives réelles plutôt qu’une formule de solide indéformable.
Le moment cinétique dépend du point de référence. Un résultat qui change lorsqu’on remplace O par un autre point n’est pas une contradiction : la contribution de transport change elle aussi. Il faut annoncer le point choisi et le garder jusqu’au résultat.
Dans un système ouvert à masse variable, appliquer mécaniquement la formule à un ensemble qui n’est pas constitué des mêmes points produit un bilan incomplet. Il faut identifier les flux de matière avant de séparer mouvement global et mouvement interne.
Pour aller plus loin
Le barycentre précise la construction pondérée qui place le centre de masse et explique pourquoi les contributions relatives s’équilibrent.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres