calotte sphérique

Imaginez une orange parfaitement ronde coupée par un plan, sans passer par son centre. La partie bombée située entre la coupe et le sommet de l’orange donne l’image d’une calotte sphérique.

Deux mesures suffisent pour la décrire : le rayon de la sphère entière et la hauteur entre le plan de coupe et le pôle. Plus le plan se rapproche du pôle, plus la calotte est basse et sa base circulaire est petite.

Une calotte sphérique est la partie d’une surface sphérique séparée par un plan sécant. Dans la convention de la définition de référence, ce plan est parallèle au plan équatorial, ne passe pas par le centre et l’on retient la petite portion située du côté du pôle. Le solide compris entre cette surface courbe et le disque de coupe est également appelé calotte sphérique par extension.

Notons R le rayon de la sphère, h la hauteur mesurée perpendiculairement du plan de coupe au pôle et a le rayon du cercle de base. Pour la petite calotte décrite ici, 0 < h < R. Une coupe par un plan passant par l’axe et le centre fait apparaître un triangle rectangle, d’où $a^2=R^2-(R-h{)}^2=2Rh-h^{2}a^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2$.

L’aire de la seule surface courbe, notée A, et le volume du solide, noté V, sont donnés par : Si R et h sont exprimés dans une même unité, A s’exprime dans l’unité au carré et V dans l’unité au cube. L’aire du disque de base, égale à πa², n’est pas comprise dans A.

Considérons une sphère de rayon R = 5 cm. Un plan parallèle au plan équatorial découpe, du côté du pôle, une calotte de hauteur h = 2 cm. On cherche le rayon a de sa base, l’aire A de sa surface courbe et le volume V du solide.

1. Le centre est à R − h = 3 cm du plan de coupe.
2. Le rayon de base vérifie a² = 2 × 5 × 2 − 2² = 16 cm², donc a = 4 cm.
3. L’aire courbe vaut A = 2π × 5 × 2 = 20π cm², soit environ 62,83 cm².
4. Le volume vaut $V=\pi \times 2^2(5-\frac{2}{3})=\frac{52\pi }{3}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V=\backslash pi\backslash times2^2\backslash left(5-\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash right)=\backslash frac\{52\backslash pi\}\{3\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^3$, soit environ 54,45 cm³.

Le contrôle géométrique est immédiat dans la coupe centrale : le triangle formé par le rayon de base 4 cm, la distance au centre 3 cm et le rayon de la sphère 5 cm est rectangle, et 3² + 4² = 5². La figure rend visibles ces mêmes données et la hauteur de 2 cm.

Lorsqu’un objet bombé est modélisé par une portion de sphère, on mesure d’abord le rayon R de la sphère de référence et la hauteur h de la partie conservée. Les formules de la calotte conviennent si la surface suit bien une même sphère ; sinon, il faut choisir un autre modèle géométrique.

Pour calculer la quantité de surface courbe, on utilise A = 2πRh. Si le disque de coupe doit aussi être compté, on ajoute séparément son aire πa².

Pour calculer la capacité de la partie pleine, on emploie le volume V. Avant toute application numérique, R et h doivent être convertis dans la même unité ; le résultat est ensuite donné dans l’unité au cube correspondante.

Une calotte sphérique est bordée par un seul cercle de coupe. Une zone sphérique est comprise entre deux plans parallèles et possède deux cercles frontières : le nombre de bords permet de trancher.

La surface courbe de la calotte n’est pas le disque de base. Dans l’exemple, leurs aires valent respectivement 20π cm² et 16π cm² ; elles ne s’additionnent que si l’on demande toute la frontière du solide.

Un hémisphère est obtenu lorsque le plan de coupe passe par le centre, donc lorsque h = R. La définition de référence exclut précisément ce cas en imposant un plan ne passant pas par le centre.

À la limite h = 0, le plan est tangent à la sphère : le cercle de base, l’aire et le volume deviennent nuls. Le plan n’est alors plus sécant, si bien que l’on obtient un cas dégénéré plutôt qu’une calotte au sens strict.

Au seuil h = R, le plan traverse le centre et la portion devient un hémisphère. Les formules restent cohérentes, mais cette valeur sort de la convention stricte de la définition de référence.

Un même plan sécant sépare la sphère en deux portions. Certains usages nomment aussi calotte la grande portion, dont la hauteur vérifie R < h < 2R ; il faut donc préciser le côté du plan retenu. La présente fiche suit la petite portion comprise dans un hémisphère.

La formule A = 2πRh donne uniquement l’aire sphérique courbe. Si un problème demande l’aire totale du solide fermé, il faut ajouter πa² pour le disque de base ; dans l’exemple, le total vaut 36π cm².

La relation a² = 2Rh − h² relie directement la coupe plane à la sphère. Elle permet de retrouver la hauteur à partir du rayon de base, puis d’étudier les deux portions complémentaires découpées par un même plan.