projection azimutale

Imaginez un globe et une feuille plane qui le touche au pôle Nord. Chaque lieu du domaine représenté est envoyé sur la feuille en suivant une droite. Le dessin obtenu est une projection azimutale. Il est fidèle au voisinage du point de contact, puis se déforme à mesure que l'on s'en éloigne.

Trois positions du regard donnent trois variantes. Le regard part du point opposé pour la stéréographique, du centre du globe pour la gnomonique et d'une distance supposée infinie pour l'orthographique. Ce choix change ce que la carte préserve et l'aspect des régions éloignées.

Une projection azimutale, dite aussi zénithale ou planaire, transforme la surface terrestre en une carte sur un plan. Ce plan est tangent à la sphère en un point, ou sécant suivant un cercle. La position du point de tangence fixe l'orientation : polaire à un pôle, équatoriale sur l'équateur et oblique partout ailleurs. Cette orientation ne détermine pas à elle seule la règle de projection.

La règle dépend du point d'où partent les droites de projection. Dans la variante stéréographique, ce point est diamétralement opposé au point de tangence ; la carte est conforme, donc elle conserve les angles. Dans la variante gnomonique, il se trouve au centre de la Terre ; chaque grand cercle devient une droite. Selon la variante de projection, l'orientation et la latitude considérée, les parallèles peuvent apparaître comme des cercles concentriques, des hyperboles, des paraboles ou des ellipses. Dans la variante orthographique, les rayons sont parallèles, comme si l'observateur était à l'infini ; le résultat ressemble à une vue depuis l'espace.

La gnomonique et l'orthographique ne montrent qu'un hémisphère à la fois. La gnomonique déforme de plus en plus les régions éloignées du point de tangence. La stéréographique sert notamment à la navigation polaire, la gnomonique aux régions polaires et à la sismologie, et l'orientation polaire aux cartes de routes aériennes transpolaires. La projection de Fuller, ou dymaxion, adapte une construction gnomonique à un icosaèdre.

Comparons l'image d'un même lieu sur un globe de rayon R. Le lieu se trouve à l'angle central θ = 45° du point de tangence. Le plan est tangent au globe et la distance radiale ρ se mesure sur ce plan depuis le point de tangence. Les trois constructions partagent donc R, θ et le même lieu.

1. Pour l'orthographique, les rayons parallèles donnent ρ_o = R sin θ.
2. Pour la stéréographique, le rayon issu du point opposé donne ρ_s = 2R tan(θ/2).
3. Pour la gnomonique, le rayon issu du centre donne ρ_g = R tan θ.

En remplaçant θ par 45°, on obtient :

La même position sur le globe n'arrive donc pas au même endroit sur les trois cartes. Un contrôle simple consiste à vérifier l'ordre 0,707R < 0,828R < R. À 45°, la gnomonique éloigne ici le plus le lieu du centre de la carte, tandis que l'orthographique l'en éloigne le moins.

En navigation polaire, la stéréographique est choisie lorsque la conservation locale des angles compte davantage que la forme des régions lointaines. Une autre variante devient préférable si le critère principal est de redresser les grands cercles ou de restituer une apparence vue de loin.

Pour tracer un trajet suivant un grand cercle, la gnomonique rend ce tracé rectiligne. Ce critère la distingue de l'orthographique ; la droite obtenue ne signifie toutefois pas que les distances sont conservées le long du trajet.

En sismologie ou pour une région polaire, la gnomonique est utile lorsque cette rectitude des grands cercles est recherchée. Il faut en revanche limiter la zone représentée, car la déformation augmente loin du point de tangence.

Pour donner l'apparence d'un hémisphère observé depuis l'espace, l'orthographique est le choix naturel. Une carte de routes aériennes transpolaires adopte plutôt une orientation polaire, centrée sur le pôle concerné.

Projection azimutale et projection stéréographique. La première est une famille ; la seconde en est une variante précise. Si le point de perspective est opposé au point de tangence, la construction est stéréographique. Un point de perspective au centre ou à l'infini donne une autre projection azimutale.

Projection gnomonique et orthodromie. La projection est une manière de dessiner la sphère sur un plan ; l'orthodromie est un trajet porté par un grand cercle. Sur une carte gnomonique, ce trajet apparaît droit, mais sa longueur ne se lit pas avec une échelle constante.

Au bord de l'hémisphère. En gnomonique, lorsque l'écart angulaire θ approche 90°, tan θ augmente sans borne : les points s'éloignent indéfiniment sur le plan. Il faut changer de centre ou employer une autre projection pour cartographier au-delà. L'orthographique s'arrête elle aussi à un hémisphère.

Loin du point de tangence. Le voisinage du centre paraît plus maîtrisé que la périphérie. L'exemple à 45° donne déjà trois rayons distincts, de 0,707R à R. Une mesure faite loin du centre doit donc être interprétée selon la variante choisie.

Une propriété n'en garantit pas une autre. La stéréographique conserve les angles ; la gnomonique transforme les grands cercles en droites ; l'orthographique reproduit une apparence vue de loin. Aucun de ces critères ne permet de conclure que toutes les distances, surfaces et formes sont conservées.

Polaire ne signifie pas stéréographique. Les mots polaire, équatoriale et oblique indiquent où le plan touche la sphère. Les mots stéréographique, gnomonique et orthographique indiquent d'où viennent les rayons. Il faut vérifier séparément ces deux choix.

La fiche Stéréographique (projection) approfondit la variante conforme et le rôle du point de perspective opposé au point de tangence.

La notion d'orthodromie précise ce qu'est un trajet de grand cercle, représenté par une droite dans une projection gnomonique.

L'article Les droites dans les espaces courbes : les géodésiques replace les grands cercles parmi les chemins naturels des surfaces courbes.