GéométrieNotion · Glossaire
Stéréographique (projection)
La projection stéréographique est une application bijective d'une sphère privée d'un pôle vers le plan équatorial. Elle est définie en associant à tout point P de la sphère (autre que le pôle N) l'intersection de la droite NP avec le plan équatorial. La projection stéréographique est conforme (elle préserve les angles locaux) et transforme les cercles de la sphère en cercles ou en droites du plan. Elle est utilisée en cartographie, en géométrie complexe (identification du plan avec la sphère de Riemann) et en cristallographie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire l'image d'un point de la sphère par une droite issue du pôle.
- Calculer puis inverser la projection d'un point exact de la sphère unité.
- Interpréter la conservation des angles sans la confondre avec celle des longueurs ou des aires.
- Reconnaître le rôle du pôle et le cas où un cercle devient une droite.
En clair
Imaginez une sphère transparente posée autour d'un plan. Une lampe ponctuelle placée au pôle Nord envoie un rayon à travers un point P de la sphère. L'endroit où ce rayon coupe le plan est l'image de P. Dans une coupe passant par les pôles, cette construction se réduit à une droite reliant N, P et le point projeté.
Tous les points sauf N atteignent ainsi un point unique du plan, et chaque point du plan remonte vers un point unique de la sphère. Près de N, les images partent très loin : le plan entier est nécessaire.
Définition
Considérons la sphère unité, centrée à l'origine, son pôle Nord N de coordonnées (0, 0, 1) et le plan équatorial d'équation z = 0. Pour un point P de la sphère distinct de N, sa projection stéréographique est l'unique point Q où la droite NP rencontre ce plan. Cette application est une bijection entre la sphère privée de N et le plan.
Si les coordonnées de Q dans le plan sont notées u et v, le point P correspondant a pour coordonnées :
Cette formule inverse montre que tout point du plan possède exactement un antécédent sur la sphère, différent de N.
La projection est conforme : elle conserve la mesure des angles entre deux courbes qui se coupent, au niveau de leur intersection. Elle ne conserve pas en général les longueurs ni les aires. Un cercle de la sphère ne passant pas par N devient un cercle du plan ; s'il passe par N, son image privée de N devient une droite. Ces propriétés expliquent son emploi en cartographie, en cristallographie et dans l'identification du plan complexe à la sphère de Riemann.
Un exemple, pas à pas
Sur la sphère unité, prenons le pôle N = (0, 0, 1) et le point P = (3/5, 0, −4/5). Le plan équatorial est z = 0. Les coordonnées de P vérifient (3/5)2 + (−4/5)2 = 1 : P appartient bien à la sphère.
1. Un point de la droite allant de N vers P dépend d'un paramètre t et a pour coordonnées :
2. L'intersection avec le plan impose une coordonnée z nulle. L'équation 1 − 9t/5 = 0 donne t = 5/9.
3. En remplaçant t, on obtient Q = (1/3, 0, 0). La projection plane de P a donc pour coordonnées (u, v) = (1/3, 0).
2. L'intersection avec le plan impose une coordonnée z nulle. L'équation 1 − 9t/5 = 0 donne t = 5/9.
3. En remplaçant t, on obtient Q = (1/3, 0, 0). La projection plane de P a donc pour coordonnées (u, v) = (1/3, 0).
Le contrôle se refait avec la formule inverse. Pour u = 1/3 et v = 0, son dénominateur vaut 10/9 ; elle redonne (3/5, 0, −4/5), exactement le point P de départ.
En pratique
En cartographie, cette projection convient lorsqu'il faut conserver les angles locaux, par exemple pour lire correctement une direction. Si la comparaison des aires est prioritaire, une projection équivalente est préférable, car les surfaces sont de plus en plus déformées à l'approche du pôle de projection.
En géométrie complexe, chaque point du plan complexe est placé sur la sphère de Riemann par la bijection inverse. Le pôle N complète alors le plan par un point à l'infini, ce qui permet de traiter certaines transformations sur une sphère compacte.
En cristallographie, la projection sert à reporter sur un plan des directions portées par une sphère. Elle est utile lorsque les angles entre directions sont l'information à comparer ; des coordonnées tridimensionnelles restent préférables si l'on doit conserver toute l'information spatiale.
À ne pas confondre
Projection stéréographique et projection orthographique. La première trace les droites depuis un pôle de la sphère ; la seconde projette suivant des droites parallèles. La construction est stéréographique seulement si N est le pôle de la sphère choisi comme centre de projection, si les rayons sont les droites NP et si celles-ci rencontrent le plan de projection convenu ; leur seule convergence en N ne suffit pas.
Projection stéréographique et projection de Mercator. La projection stéréographique sur la sphère privée du pôle de projection et la projection de Mercator hors des pôles sont toutes deux conformes, mais leur support de construction diffère. La projection stéréographique associe directement un plan à un pôle ; la projection de Mercator se construit sur un cylindre. La présence du pôle de projection et des droites NP tranche le cas.
Limites et pièges
Le pôle N n'a pas d'image dans le plan. Deux occurrences du même point N ne déterminent pas une droite unique, et aucun point fini ne peut lui correspondre. Dans la sphère de Riemann, on traite ce cas en associant N au point à l'infini.
Conforme ne signifie pas sans déformation. Les angles locaux sont préservés, mais pas les longueurs ni les aires. Le symptôme est un agrandissement qui devient extrême près de N ; il faut choisir une autre projection si la mesure des surfaces ou des distances est prioritaire.
Un cercle peut devenir une droite. Ce n'est pas une exception à la propriété annoncée : tout cercle de la sphère passant par N perd ce point lors de la projection et son image est une droite. Il faut donc vérifier le passage par le pôle avant d'attendre un cercle plan.
Le plan de projection fait partie de la convention. Ici, il s'agit du plan équatorial et le centre de projection est N. Avec un autre pôle ou un autre plan, les coordonnées changent ; il faut annoncer la convention avant tout calcul.
Pour aller plus loin
L'article Projection stéréographique prolonge la construction et ses usages au-delà de cette définition synthétique.
La fiche Sphère de Riemann montre comment le plan complexe et son point à l'infini forment une sphère.
La fiche plan complexe précise le support plan ensuite identifié à la sphère privée d'un point.
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