GéométrieNotion · Glossaire
projection de Mercator
Dans le modèle sphérique sans les pôles, la projection de Mercator est une projection cartographique cylindrique conforme : ses méridiens sont des droites verticales régulièrement espacées et ses parallèles des droites horizontales de plus en plus écartées. Elle conserve localement les angles, si bien qu’une droite sur la carte correspond à une loxodromie, route à cap constant utile en navigation. En contrepartie, elle agrandit longueurs et surfaces vers les pôles et ne donne généralement pas les plus courts trajets.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la disposition des méridiens et des parallèles sur une carte de Mercator.
- Relier une droite cartographique à une loxodromie suivie à cap constant.
- Calculer l'arrivée d'un trajet simple avec les coordonnées de Mercator.
- Repérer les distorsions d'échelle, de surface et l'impossibilité de représenter les pôles.
En clair
Imaginez une route tracée à la règle sur une carte marine. Sur une carte de Mercator, cette droite coupe chaque méridien sous le même angle : le navigateur peut donc conserver le même cap à la boussole. Les méridiens y sont verticaux, les parallèles horizontaux, et leurs croisements restent à angle droit.
Ce confort a un prix. Plus on s'éloigne de l'équateur, plus la carte agrandit les longueurs et les surfaces. Les contours locaux gardent leurs angles, mais les régions proches des pôles paraissent démesurées.
Définition
La projection de Mercator est une projection cartographique cylindrique conforme : elle conserve localement les angles. Les méridiens deviennent des droites verticales parallèles et régulièrement espacées. Les parallèles deviennent des droites horizontales, de plus en plus écartées à mesure que la latitude augmente. Cette dilatation verticale compense la dilatation horizontale et préserve ainsi les angles.
Sur une Terre modélisée par une sphère de rayon R, la longitude λ est comptée en radians depuis le méridien central et la latitude φ depuis l'équateur. Les coordonnées cartographiques x et y sont alors :
Cette écriture vaut pour les latitudes strictement comprises entre −90° et 90°. Les pôles n'ont pas d'image finie.
Une droite non verticale de la carte coupe tous les méridiens sous un angle constant. Son image sur la sphère est une loxodromie, utile pour suivre un cap constant. Elle n'est généralement pas le plus court trajet entre deux points. Le facteur d'échelle local vaut : il est égal à 1 sur l'équateur et augmente sans borne vers les pôles.
Un exemple, pas à pas
Un navire part du point A, placé à 0° de longitude et sur l'équateur. Il suit vers le nord-est un cap constant de 45° jusqu'à la latitude 60° nord. On cherche la longitude du point B atteinte sur une Terre sphérique. Les angles seront convertis en radians pour le calcul.
1. La latitude d'arrivée est φ = 60°, soit π/3 radians.
2. L'ordonnée de Mercator, divisée par le rayon R, vaut .
3. Un cap de 45° donne sur la carte des déplacements horizontal et vertical égaux. Comme le départ a pour coordonnées (0, 0), la longitude d'arrivée vérifie donc λ ≈ 1,31696 radian.
4. La conversion en degrés donne .
2. L'ordonnée de Mercator, divisée par le rayon R, vaut .
3. Un cap de 45° donne sur la carte des déplacements horizontal et vertical égaux. Comme le départ a pour coordonnées (0, 0), la longitude d'arrivée vérifie donc λ ≈ 1,31696 radian.
4. La conversion en degrés donne .
Le point B se situe donc vers 75,46° est. Le contrôle est graphique : dans les coordonnées de Mercator, le segment AB monte autant qu'il avance vers l'est, donc il forme bien un angle constant de 45° avec les méridiens verticaux. La figure matérialise ce contrôle sans supposer que la route est la plus courte.
En pratique
Sur une carte marine de Mercator, le navigateur trace une droite entre son point de départ et son objectif, puis lit l'angle qu'elle forme avec les méridiens. Il peut suivre ce cap constant à la boussole.
Pour un long trajet, la route droite de Mercator n'est généralement pas la plus courte sur la Terre. Si la distance minimale prime sur la simplicité du cap, il faut préférer une orthodromie et accepter que le cap varie en cours de route.
Pour représenter une zone loin de l'équateur, il faut vérifier l'échelle et ne pas comparer les surfaces à l'œil. Des projections dérivées, notamment le système UTM fondé sur la Mercator transverse, répondent à d'autres orientations du cylindre.
À ne pas confondre
Loxodromie et orthodromie. Une loxodromie coupe tous les méridiens sous un angle constant ; elle apparaît droite sur une carte de Mercator. Une orthodromie suit un grand cercle et donne le plus court chemin sur une sphère. Sur une longue route, un cap constant signale la première, tandis qu'un cap qui évolue peut suivre la seconde.
Limites et pièges
Aux hautes latitudes. L'agrandissement devient rapidement trompeur. À 60° de latitude, le facteur d'échelle local vaut exactement 2 : une petite longueur est doublée dans chaque direction et une petite surface paraît quatre fois plus grande. Il faut lire l'échelle liée à la latitude au lieu de comparer les tailles à l'œil.
Aux pôles. Lorsque la latitude tend vers 90° nord ou sud, l'ordonnée et le facteur d'échelle augmentent sans borne. Un pôle ne peut donc pas figurer à une hauteur finie sur une carte de Mercator complète ; la carte doit être coupée avant de l'atteindre.
Pour mesurer une distance. Une même longueur dessinée ne représente pas partout la même distance terrestre, car l'échelle dépend de la latitude. Il faut appliquer l'échelle locale ou choisir une projection adaptée à la mesure recherchée.
Pour choisir une route. La ligne droite facilite le maintien d'un cap constant, mais elle ne garantit pas la distance minimale sur une sphère. Pour une longue traversée, il faut comparer avec l'orthodromie plutôt que déduire l'itinéraire optimal de la seule rectitude sur la carte.
Pour aller plus loin
La fiche loxodromie approfondit la courbe suivie à cap constant et éclaire la propriété qui rend la projection de Mercator utile en navigation.
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