GéométrieNotion · Glossaire
projection de Sanson-Flamsteed
La projection de Sanson-Flamsteed, ou projection sinusoïdale, est une projection cartographique équivalente : elle conserve les aires d’un globe sphérique. Les parallèles sont des droites horizontales régulièrement espacées, le méridien central est droit et les autres méridiens sont des sinusoïdes ; les distances le long des parallèles sont conservées. Elle sert notamment aux planisphères où comparer fidèlement les surfaces importe davantage que préserver les formes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la projection de Sanson-Flamsteed à son autre nom, projection sinusoïdale.
- Lire le rôle des parallèles droits, des méridiens courbes et du méridien central.
- Calculer les coordonnées projetées d'un point à 60° de latitude et de longitude.
- Distinguer conservation des surfaces, déformation des formes et versions interrompues.
En clair
Imaginez que l'on déroule la surface du globe sur une feuille sans agrandir ni réduire les pays. Les lignes de latitude deviennent des droites horizontales régulièrement espacées. L'équateur garde toute sa largeur, puis les parallèles se raccourcissent à mesure qu'ils approchent des pôles.
Pour accompagner ce resserrement, les méridiens se courbent autour d'un méridien central droit. Cette carte préserve les surfaces : deux régions de même aire sur le globe occupent la même aire sur la carte. En revanche, leurs contours peuvent être étirés ou inclinés, surtout loin du centre.
Définition
La projection de Sanson-Flamsteed, ou projection sinusoïdale, est une projection cartographique pseudocylindrique et équivalente. « Équivalente » signifie qu'elle conserve les aires, non les formes ni tous les angles. Ses parallèles sont des segments horizontaux, parallèles et régulièrement espacés. Son méridien central est une droite ; les autres méridiens sont courbes et rejoignent les pôles.
Sur une sphère de rayon R, on note φ la latitude en radians, λ la longitude et λ0 la longitude du méridien central. Les coordonnées cartographiques x et y, prises depuis l'intersection de l'équateur et du méridien central, s'écrivent :
Le facteur cosinus raccourcit chaque parallèle comme sur la sphère : les distances mesurées le long d'un même parallèle sont donc respectées. La projection appartient aussi à la famille de Bonne comme cas limite associé à un parallèle de référence placé sur l'équateur. Pour un planisphère, on peut l'interrompre et choisir plusieurs méridiens centraux afin de rapprocher davantage de régions d'un axe peu déformé.
Un exemple, pas à pas
Prenons une sphère de rayon R = 1, un méridien central de longitude λ0 = 0°, et un point P situé à la latitude φ = 60° et à la longitude λ = 60°. Avant le calcul, les angles sont convertis en radians : 60° = π/3.
1. La hauteur du point est y = φ = π/3 ≈ 1,047.
2. À la latitude 60°, cos φ = 1/2.
3. Son décalage horizontal vaut x = (λ − λ0) cos φ = (π/3) × 1/2 = π/6 ≈ 0,524.
4. Le point projeté est donc P(π/6 ; π/3), soit environ P(0,524 ; 1,047).
2. À la latitude 60°, cos φ = 1/2.
3. Son décalage horizontal vaut x = (λ − λ0) cos φ = (π/3) × 1/2 = π/6 ≈ 0,524.
4. Le point projeté est donc P(π/6 ; π/3), soit environ P(0,524 ; 1,047).
Le contrôle se refait sur l'équateur : à la même longitude, cos 0° = 1, donc x = π/3. Le décalage horizontal à 60° de latitude est exactement moitié moindre. Le tracé montre ce resserrement des parallèles et la courbure des méridiens sans modifier l'échelle le long d'un parallèle donné.
En pratique
Pour comparer visuellement l'étendue de régions du monde, cette projection convient lorsque l'aire compte davantage que la fidélité des contours. Une carte thématique de surfaces peut ainsi éviter de donner un poids excessif aux hautes latitudes.
Pour un planisphère continu, on place le méridien central au milieu de la zone que l'on souhaite montrer avec le moins de déformation. Les régions éloignées de cet axe sont davantage inclinées ou étirées.
Lorsque plusieurs continents doivent rester lisibles, une version interrompue est préférable au dessin continu. Chaque lobe reçoit son propre méridien central ; les coupures réduisent les distorsions régionales, au prix de rompre certains océans ou certaines continuités.
À ne pas confondre
La projection de Mercator représente les méridiens et les parallèles par un quadrillage de droites. Elle conserve localement les angles, mais agrandit fortement les surfaces aux hautes latitudes. Si le Groenland paraît démesurément grand, le critère observé n'est pas l'équivalence des aires de Sanson-Flamsteed.
La projection de Bonne est une famille apparentée dont les parallèles sont des arcs de cercle. Dans le cas limite sinusoïdal associé à l'équateur, ces parallèles deviennent droits. L'aspect des parallèles permet donc de trancher entre une projection de Bonne générale et Sanson-Flamsteed.
Limites et pièges
L'équivalence ne conserve pas les formes. Une région garde son aire relative, mais son contour peut être incliné ou étiré. Le symptôme est particulièrement visible loin du méridien central ; il faut donc éviter d'interpréter une silhouette déformée comme une propriété du territoire.
Le méridien central est privilégié. Les déformations y sont minimales, puis augmentent avec l'éloignement longitudinal. À 60° de latitude, le facteur cosinus vaut 1/2 : un même écart de longitude occupe alors la moitié de la largeur qu'il aurait sur l'équateur.
Une carte interrompue n'est plus continue. Les lobes rapprochent plusieurs régions de leur méridien central, mais une route ou une zone traversant une coupure ne peut plus être suivie d'un seul trait. Il faut employer une version continue lorsque cette continuité est l'information prioritaire.
Pour aller plus loin
La fiche projection cartographique replace Sanson-Flamsteed parmi les transformations qui font passer du globe au plan et explicite les compromis qu'elles imposent.
La projection de Bonne éclaire la famille dont la projection sinusoïdale constitue un cas limite associé à l'équateur.
La projection de Mercator permet d'opposer conservation locale des angles et conservation des surfaces à partir de tracés directement observables.
Le planisphère prolonge la réflexion sur la représentation de la planète entière, continue ou découpée en plusieurs lobes.
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