projection de Bonne

Imaginez que l'on déroule la surface du globe sur une feuille sans changer l'aire des pays. Dans la projection de Bonne, les lignes de latitude deviennent des arcs de cercle emboîtés autour d'un même centre. Le méridien central sert d'axe au dessin.

Cette carte permet donc de comparer correctement les surfaces. En contrepartie, elle déforme les angles et ne conserve pas toutes les distances. Sa silhouette change selon le parallèle choisi comme origine.

La projection de Bonne est une projection cartographique équivalente : une surface du globe et son image sur la carte ont des aires proportionnelles. Les parallèles sont des arcs de cercles concentriques et équidistants. Leur centre commun appartient à la droite du méridien central. Sur une sphère de rayon unité, lorsque la latitude φ₀ du parallèle d'origine est non nulle, le rayon de l'arc représentant le parallèle de latitude φ vaut cot φ₀ + φ₀ − φ ; ici, φ et φ₀ sont exprimées en radians, φ désigne la latitude du parallèle considéré, φ₀ celle du parallèle d'origine et cot la cotangente. Le choix équatorial s'obtient comme cas limite.

L'échelle reste constante le long de chaque parallèle. Les distances sont également respectées sur le méridien central, pas sur toute la carte ni pour toutes les distances entre points. Sur le méridien central, les parallèles croisent cet axe à angle droit et l'échelle méridienne vaut localement 1. En revanche, le facteur d'échelle parallèle y vaut notamment ρ cos(φ₀) / cos(φ), avec ρ = cot φ₀ + φ₀ − φ ; il n'est égal à 1 qu'au parallèle d'origine, hors cas particuliers. En dehors de cet axe, les méridiens ne coupent généralement pas les parallèles à angle droit. Un schéma de construction fait apparaître le centre commun des arcs et l'axe porté par le méridien central.

Le choix du parallèle d'origine commande la forme obtenue. S'il est le pôle, le contour prend la forme d'un cœur : c'est la projection de Werner. S'il est l'équateur, les méridiens deviennent des sinusoïdes : c'est la projection de Sanson-Flamsteed, aussi appelée projection sinusoïdale. Rigobert Bonne proposa cette projection en 1752, après des usages antérieurs dans des planisphères du 16e siècle et dans le prolongement de la projection conique de Ptolémée.

Un cartographe veut vérifier les éléments du réseau de la projection de Bonne. Les données sont des parallèles tracés en arcs concentriques et le méridien central qui porte leur centre commun.

Étape 1. Pour un tracé schématique, marquez un point O sur la droite du méridien central et choisissez trois rayons de 2 cm, 3 cm et 4 cm autour de O.

Étape 2. Tracez autour de O trois arcs de cercles concentriques de ces rayons, puis faites passer le méridien central par O ; l'écart de 1 cm entre deux rayons vérifie l'équidistance du réseau schématique.

Étape 3. Observez le réseau obtenu : le tracé permet de reconnaître les arcs concentriques et leur axe commun. L'exercice porte sur ces éléments génériques, sans chercher à identifier une variante particulière.

Étape 4. Contrôlez le tracé : les trois arcs doivent partager O comme centre, leurs rayons doivent être espacés de 1 cm et O doit rester sur le méridien central. Cette construction vérifie les éléments génériques du réseau schématique ; elle ne remplace pas le calcul complet du réseau.

Pour une carte où la comparaison des superficies compte, la projection de Bonne offre le critère utile : elle conserve les surfaces. Si la priorité porte plutôt sur les angles, il faut préférer une projection conforme : la projection de Bonne ne les conserve pas en général ; la conformité locale n'apparaît, hors cas particuliers, qu'au parallèle d'origine sur le méridien central.

En France, elle a servi aux cartes d'état-major au 19e siècle et subsiste dans certaines éditions cartographiques. Le lecteur peut la reconnaître à ses parallèles en arcs concentriques, centrés sur la droite du méridien central.

La forme fournit aussi un indice immédiat. Une silhouette en cœur signale le choix du pôle comme parallèle d'origine ; des méridiens sinusoïdaux signalent le choix de l'équateur.

Conservation des surfaces et conservation de toutes les distances. Une projection équivalente garde les aires proportionnelles ; elle n'est pas pour autant fidèle à toutes les longueurs. Dans la projection de Bonne, les distances le long de chaque parallèle et le long du méridien central sont respectées, mais cela ne signifie pas que toutes les distances entre points sont conservées.

Conservation des surfaces et conservation des angles. Une aire correcte ne garantit pas un angle correct. Sur le méridien central, l'axe et les parallèles se croisent à angle droit, mais leurs facteurs d'échelle ne valent pas tous deux 1 en général : l'échelle méridienne est vraie, tandis que le facteur parallèle ne vaut 1 qu'au parallèle d'origine, hors cas particuliers. La projection n'est donc pas conforme sur tout cet axe, ni en général en dehors de celui-ci.

Angles et croisements. Le méridien central et les parallèles s'y croisent à angle droit, et l'échelle méridienne y est localement vraie. Le facteur parallèle ne vaut toutefois 1 qu'au parallèle d'origine, hors cas particuliers : la projection ne conserve donc pas localement les angles sur tout cet axe. En dehors de cet axe, les méridiens ne sont généralement pas perpendiculaires aux parallèles. Une apparente régularité du quadrillage ne doit donc pas servir à mesurer un angle.

Cas polaire. Lorsque le parallèle d'origine atteint le pôle, la projection prend une forme de cœur et porte le nom de projection de Werner. Il s'agit d'un cas particulier de la famille décrite, non d'un défaut de tracé.

Cas équatorial. Lorsque le parallèle d'origine est l'équateur, les méridiens deviennent des sinusoïdes. On obtient la projection de Sanson-Flamsteed, ou projection sinusoïdale ; ce changement de nom correspond au choix charnière du parallèle d'origine.

La notion générale de projection aide à replacer la projection de Bonne parmi les procédés qui représentent un objet sur un autre support.